Olimpiada Matematyczna

II OM - I - Zadanie 4

Dane są dwie przecinające się płaszczyzny $A$ i $B$ oraz prosta $m$ przecinająca płaszczyzny $A$ i $B$ . Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do prostej $m$ , których końce leżą na płaszczyznach $A$ i $B$ .

II OM - I - Zadanie 3

W kole poprowadzono dwie równe cięciwy $AB$ i $AC$ oraz dowolną cięciwę $AD$ ; prosta $AD$ przecina prostą $BC$ w pwnkcie $E$ . Dowieść, że iloczyn $AE \cdot AD$ nie zależy od położenia punktu $D$ na okręgu, tj. że $AE \cdot AD = AC^2$ .

II OM - I - Zadanie 2

Znaleźć warunek, jaki powinny spełniać współczynniki trójmianów

$ (1) \qquad x^2 + mx + n \textrm{ i } x^2 + px + q, $

aby między pierwiastkami każdego z tych trójmianów leżał pierwiastek drugiego trójmianu. Litery $m$ , $n$ , $p$ , $q$ oznaczają tu liczby rzeczywiste.

II OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn dwóch czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

III OM - III - Zadanie 6

W okrągłej wieży o wewnętrznej średnicy $2$ m znajdują się schody kręcone o wysokości $6$ m. Wysokość każdego stopnia schodów wynosi $0,15$ m. W rzucie poziomym stopnie tworzą przylegające do siebie wycinki kołowe o kącie $18^\circ$ . Węższe końce stopni umocowane są w okrągłym filarze o średnicy $0,64$ m, którego oś pokrywa się z osią wieży. Obliczyć największą długość pręta prostoliniowego, który można przenieść tymi schodami z dołu do góry (nie brać pod uwagę grubości pręta ani grubości płyt, z których zrobione są schody).

III OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że żadna z cyfr $2$ , $4$ , $7$ , $9$ nie może być ostatnią cyfrą liczby

$ 1 + 2 + 3 + \ldots + n, $

gdzie $n$ jest liczbą naturalną.

III OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli kąty $A$ , $B$ , $C$ trójkąta spełniają równanie

$ (1) \qquad \cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1, $

to jeden z tych kątów równa się $120^\circ$ .

III OM - III - Zadanie 3

Zbudować czworokąt $ABCD$ mając dane długości boków $AB$ i $CD$ oraz kąty czworokąta.

III OM - III - Zadanie 2

Na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio punkty $M$ , $N$ , $P$ w taki sposób, że

$ (1) \qquad \frac{BM}{MC} = \frac{CN}{NA} = \frac{AP}{PB} = k, $

gdzie $k$ oznacza liczbę daną większą od $1$ ; następnie poprowadzono odcinki $AM$ , $BN$ , $CP$ . Mając dane pole $S$ trójkąta $ABC$ obliczyć pole trójkąta ograniczonego prostymi $AM$ , $BN$ i $CP$ .