1950-1951

II OM - I - Zadanie 4

Dane są dwie przecinające się płaszczyzny $ A $ i $ B $ oraz prosta $ m $ przecinająca płaszczyzny $ A $ i $ B $. Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do prostej $ m $, których końce leżą na płaszczyznach $ A $ i $ B $.

II OM - I - Zadanie 3

W kole poprowadzono dwie równe cięciwy $ AB $ i $ AC $ oraz dowolną cięciwę $ AD $; prosta $ AD $ przecina prostą $ BC $ w pwnkcie $ E $. Dowieść, że iloczyn $ AE \cdot AD $ nie zależy od położenia punktu $ D $ na okręgu, tj. że $ AE \cdot AD = AC^2 $.

II OM - I - Zadanie 2

Znaleźć warunek, jaki powinny spełniać współczynniki trójmianów

\[<br /> (1) \qquad x^2 + mx + n \textrm{ i } x^2 + px + q,<br /> \]

aby między pierwiastkami każdego z tych trójmianów leżał pierwiastek drugiego trójmianu. Litery $ m $, $ n $, $ p $, $ q $ oznaczają tu liczby rzeczywiste.

II OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn dwóch czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Subskrybuje zawartość