2000-2009

LI OM - I - Zadanie 2

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ spełniony jest warunek

\[<br /> \measuredangle ACB=2 \measuredangle ABC.<br /> \]

Punkt $ D $ leży na boku $ BC $, przy czym $ \measuredangle BAD =\frac{1}{2} \measuredangle ABC $. Dowieść, że

\[<br /> (1)\qquad\frac{1}{BD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}.<br /> \]

LI OM - I - Zadanie 1

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 3 $. Udowodnić, ze suma sześcianów wszystkich liczb naturalnych mniejszych od $ n $, względnie pierwszych z $ n $, dzieli się przez $ n $.

LII OM - III - Zadanie 6

Dane są liczby całkowite dodatnie $ n_1 <n_2 < \ldots <n_{2000} < 10^{100} $. Dowieść, że ze zbioru $ \{n_1,n_2,\ldots,n_{2000}\} $ można wybrać niepuste rozłączne podzbiory $ A $ i $ B $ mające tyle samo elementów, taką samą sumę elementów i taką samą sumę kwadratów elementów.

LII OM - III - Zadanie 5

Punkty $ K $ i $ L $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ CD $ równoległoboku $ ABCD $, przy czym $ BK \cdot AD = DL \cdot AB $. Odcinki $ DK $ i $ BL $ przecinają się w punkcie P. Wykazać, że $ \measuredangle DAP = \measuredangle BAC $.

LII OM - III - Zadanie 4

Dane są takie liczby całkowite $ a $ i $ b $, że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $ n $ liczba $ 2^na + b $ jest kwadratem liczby całkowitej. Dowieść, że $ a = 0 $.

LII OM - III - Zadanie 3

Rozważamy ciąg $ (x_n) $ określony rekurencyjnie wzorami

\[<br /> x_{1}=a,\ x_{2}=b\ \textrm{oraz}\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{dla}\ n=1,2,3,\ldots,<br /> \]

gdzie $ a $ i $ b $ są liczbami rzeczywistymi.

Liczbę $ c $ będziemy nazywać wartością wielokrotną ciągu $ (x_n) $, jeżeli istnieją co najmniej dwie różne liczby całkowite dodatnie $ k $ i $ l $ takie, że $ x_k = x_l = c $. Wykazać, że można tak dobrać liczby $ a $ i $ b $, aby ciąg $ (x_n) $ miał więcej niż $ 2000 $ wartości wielokrotnych, ale nie można tak dobrać $ a $ i $ b $, aby miał on nieskończenie wiele wartości wielokrotnych.

LII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi $ 1 $ od jego wierzchołków jest nie większa niż $ 3 $.

LII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ i dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ zachodzi nierówność

\[<br /> \sum_{i=1}^{n}ix_{i}\leq{n \choose 2}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{i}.<br /> \]

LII OM - II - Zadanie 6

Dla danej liczby całkowitej dodatniej $ n $ rozstrzygnąć, czy podzbiorów $ n $-elementowych zbioru $ \{1,2,3,\ldots,2n-1,2n\} $ mających sumę elementów parzystą jest tyle samo, co podzbiorów $ n $-elementowych mających nieparzystą sumę elementów. Jeśli nie, to rozstrzygnąć, których jest więcej i o ile.

Subskrybuje zawartość