1990-1999

XLI OM - I - Zadanie 4

Z szachownicy o wymiarach $8 \times 80$ polach pokolorowanych w zwykły sposób usunięto dwa poła różnych kolorów. Udowodnić, że pozostałe $62$ pola można pokryć 31 prostokątami o wymiarach $2\times 1$ .

XLI OM - I - Zadanie 3

Na zewnątrz trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano trójkąty równoboczne $ABC'$ , $BCA'$ , $CAB'$ . Dowieść, że odcinki $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ przecinają się w jednym punkcie i są równej długości.

XLI OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli liczby $A$ , $B$ są różne od zera, to funkcja

$ f(x) = A\sin x+B \sin(\sqrt{2}\cdot x) $

nie jest okresowa.

XLI OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć w zależności od stałych rzeczywistych $a$ , $b$ liczbę rzeczywistych pierwiastków równania

$ \sqrt{(x-a)\cdot|x-b|} = (a-b)^2. $

XLII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej trójki liczb rzeczywistych $x,y,z$ takich, że $x^2+y^2+z^2 = 2$ spełniona jest nierówność $x+y+z\leq 2+xyz$ oraz ustalić, kiedy zachodzi równość.

XLII OM - III - Zadanie 5

Nieprzystające okręgi $k_1$ i $k_2$ leżą jeden na zewnątrz drugiego. Wspólne styczne do tych okręgów przecinają prostą wyznaczoną przez ich środki w punktach $A$ i $B$ . Niech $P$ będzie dowolnym punktem okręgu $k_1$ . Dowieść, że istnieje średnica okręgu $k_2$ , której jeden koniec leży na prostej $PA$ , a drugi — na prostej $PB$ .

XLII OM - III - Zadanie 4

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych rozważamy zbiór $V$ wszystkich wektorów swobodnych, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ , określone na zbiorze $V$ , o wartościach rzeczywistych, spełniające warunki:

(a) $f(v) = 1$ dla każdego z czterech wektorów $v\in V$ o długości $1$ ;

(b) $f(v+w) = f(v) + f(w)$ dla każdej pary wektorów prostopadłych $v, w \in V$ .

Uwaga: Wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.

XLII OM - III - Zadanie 3

Niech $N$ będzie dowolną liczbą postaci

$ N= \sum_{k=1}^{60} \varepsilon_k\cdot k^{k^k}, $

gdzie każdy ze współczynników $\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_{60}$ równa się $1$ lub $-1$ . Udowodnić, że $N$ nie jest piątą potęgą żadnej liczby naturalnej.

Uwaga: $k^{k^k} = k^{(k^k)}$ .

XLII OM - III - Zadanie 2

Niech $X$ będzie zbiorem punktów płaszczyzny $(x.y)$ o obydwu współrzędnych całkowitych. Drogą długości $n$ nazywamy każdy taki ciąg $(P_0, P_1,\ldots, P_n)$ punktów zbioru $X$ , że $|P_{i-1}P_{i}|=1$ dla $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ . Niech $F(n)$ będzie liczbą różnych dróg $(P_0,P_1,\ldots,P_n)$ o początku $P_0 = (0,0)$ i końcu $P_n$ położonym na prostej o równaniu $y = 0$ . Udowodnić, że