1980-1989

XXXIX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $n^{2n} - n^{n+2} + n^n - 1$ jest podzielna przez $(n - 1 )^3$ .

Wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ABC$ rozważamy punkt $P$ i jego rzuty $L, M, N$ odpowiednio na boki $BC, CA, AB$ . Wyznaczyć taki punkt $P$ , dla którego suma $|BL|^2 + |CM|^2 + |AN|^2$ jest najmniejsza.

XXXIX OM - II - Zadanie 2

Dane są liczby rzeczywiste $x_i$ , $y_i$ ( $i = 1, 2, \ldots, n$ ) takie, że

$ (1) \qquad x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_n \geq 0, \quad \qquad y_1 > y_2 > \ldots > y_n 0, $

oraz

$ \prod_{i=1}^k x_i \geq \prod_{i=1}^k y_i,\quad \text{ dla }\quad k=1,2,\ldots, n. $

Udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^n x_i > \sum_{i=1}^n y_i. $

XXXIX OM - II - Zadanie 1

Niech $f(x)$ będzie wielomianem, $n$ - liczbą naturalną. Udowodnić, że jeżeli $f(x^{n})$ dzieli się przez $x-1$ , to dzieli się również przez $x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1$ .

XXXIX OM - I - Zadanie 12

Dane są dwie współśrodkowe sfery $S_R$ i $S_r$ odpowiednio o promieniach $R$ i $r$ , $R > r$ . Niech $A_0$ będzie pewnym punktem należącym do $S_R$ . Niech $T_{A_0}$ będzie stożkiem o wierzchołku w $A_0$ stycznym do $S_r$ . Oznaczmy $K_1 = T_{A_0} \cap S_R$ . Następnie dla każdego punktu $A \in K_1$ wykreślamy stożek $T_A$ i określamy $K_2 = \bigcup_{A\in K_1} T_A \cap S_R$ i dalej przez indukcję $K_{n+1}= \bigcup_{A\in K_n} T_A \cap S_R$ , gdzie $T_A$ jest stożkiem o wierzchołku w $A$ i stycznym do $S_r$ . Udowodnić, że dla pewnego $n$ jest $K_n = S_R$ .

XXXIX OM - I - Zadanie 11

Dany jest ciąg określony wzorami $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , $a_3 = 6$ , $a_{n+4} = 2a_{n+3} + a_{n+2} - 2 a_{n+1} - a_n$ dla $n > 0$ . Udowodnić, że $a_n$ jest liczbą podzielną przez $n$ .

Czytaj dalej

XXXIX OM - I - Zadanie 10

Wiedząc, że $x \in \langle 0; \pi/4\rangle$ rozstrzygnąć, która z liczb jest większa:

$ \tan \sin x \text{ czy } \sin \tan x. $

XXXIX OM - I - Zadanie 9

Spośród wierzchołków $n$ -kąta foremnego ( $n \geq 4$ ) wybrano cztery różne. Wybór każdej czwórki wierzchołków jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie wybrane wierzchołki leżą na pewnym półokręgu (przyjmujemy, że do półokręgu należą jego końce).

XXXIX OM - I - Zadanie 8

Dla danego sześcianu o krawędzi długości 1 znaleźć zbiór odcinków o sumie długości nie większej niż $1 +3\sqrt{3}$ mający tę własność, że każde dwa wierzchołki sześcianu są końcami pewnej łamanej złożonej z odcinków tego zbioru.

XXXIX OM - I - Zadanie 7

Dane jest takie przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, że obrazem każdego okręgu jest okrąg. Udowodnić, że obrazem każdej prostej jest prosta.

Olimpiady Matematyczne