1960-1969

XIX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $a, b, c$ , są długościami boków trójkąta, a suma liczb $x, y, z$ jest równa zeru, to

$ (1) \qquad a^2yz + b^2zx + c^2xy \leq 0. $

XIX OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli przy okrągłym stole siedzi co najmniej 5 osób, to można je tak przesadzić, że każda osoba będzie miała obu sąsiadów innych niż poprzednio.

XIX OM - II - Zadanie 2

Dany jest okrąg $k$ i wewnątrz niego punkt $H$ . Wpisać w okrąg taki trójkąt, żeby punkt $H$ był punktem przecięcia wysokości trójkąta.

XIX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że wielomian zmiennej $x$ o współczynnikach całkowitych, którego wartość bezwzględna dla trzech różnych wartości całkowitych $x$ równa się 1, nie ma pierwiastków całkowitych.

Dany jest czworościan $A_1A_2A_3A_4$ . Udowodnić, że jeżeli punkty $P_1, P_2, P_3, P_4$ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $P$ przestrzeni odpowiednio na proste $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_1$ , to suma

$ A_1P_1^2 + A_2P_2^2 + A_3P_3^2 + A_4P_4^2 $

jest najmniejsza wtedy, gdy punkt $P$ jest środkiem kuli opisanej na czworościanie A $A_1A_2A_3A_4$ .

XIX OM - I - Zadanie 11

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt, którego wszystkie kąty są równe. Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego w wielokącie od prostych zawierających boki wielokąta jest stała.