1949-1959

X OM - II - Zadanie 2

Przy jakiej zależności między bokami trójkąta jest on podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych ?

X OM - II - Zadanie 1

Jaki warunek konieczny i dostateczny powinny spełniać współczynniki $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, aby równanie

\[<br /> (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0<br /> \]

miało dwa pierwiastki przeciwne ?

X OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że, jeżeli w trójkącie $ ABC $ liczby $ \tg A $, $ \tg B $ i $ \tg C $ tworzą postęp arytmetyczny, to liczby $ \sin 2A $, $ \sin 2B $ i $ \sin 2C $ tworzą również postęp arytmetyczny.

X OM - I - Zadanie 11

Po tej samej stronie prostej $ AB $ zbudowano trzy półokręgi o średnicach $ AB = a + b $, $ AC = a $, $ CB = b $. Obliczyć promień koła wpisanego w figurę ograniczoną tymi półokręgami, mając dane $ a $ i $ b $.

X OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli na każdym z czworokątów $ ABCD $ i $ CDEF $ można opisać okrąg, a proste $ AB $, $ CD $, $ EF $ przecinają się w jednym punkcie $ M $, to na czworokącie $ ABEF $ można opisać okrąg.

X OM - I - Zadanie 9

Znaleźć warunek konieczny i dostateczny, jaki mają spełniać współczynniki równania

\[<br /> (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,<br /> \]

aby istniały dwa różne pierwiastki tego równania mające iloczyn równy jedności.

X OM - I - Zadanie 8

Bokami trójkąta są środkowe innego trójkąta. Obliczyć stosunek pól obu trójkątów. Czy ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt?

X OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie leżą cztery różne punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $.

a) Dowieść, że wśród odcinków $ AB $, $ AC $, $ AD $, $ BC $, $ BD $, $ CD $ przynajmniej dwa są różnej długości,

b) Jak są położone punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, jeśli wymienione wyżej odcinki mają tylko dwie różne długości?

X OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 1 $, a $ d $ dowolną liczbą dodatnią, to

\[<br /> \textrm{a)} \qquad (1 + d)^n > 1 + nd,<br /> \]
\[<br /> \textrm{b)} \qquad 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n < (n + 1)^n.<br /> \]
Subskrybuje zawartość