Liczby całkowite

XLVIII MOM - Zadanie 5

Niech $ a $ oraz $ b $ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Dowieść, że jeśli liczba $ (4a^2-1)^2 $ jest podzielna przez $ 4ab-1 $, to $ a=b $.

I MEMO - Zadanie 8

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $ k $, dla których istnieje taka liczba całkowita $ a $, że liczba $ (a+k)^3-a^3 $ jest podzielna przez 2007.

I MEMO - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary $ (x,y) $ liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie

\[<br /> x!+y!=x^y\,.<br /> \]

XVIII ZMPB - Zadanie 20

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $ b<a $ oraz liczba $ a^3+b^3+ab $ jest podzielna przez $ ab(a-b) $. Udowodnić, że $ ab $ jest sześcianem liczby całkowitej.

XVIII ZMPB - Zadanie 19

Dane są dodatnie liczby całkowite $ r $ i $ k $. Wszystkie dzielniki pierwsze liczby $ r $ są większe od 50.

Dodatnią liczbę całkowitą, której zapis dziesiętny (bez zer początkowych) ma co najmniej $ k $ cyfr, nazwiemy ładną, jeżeli każdy ciąg $ k $ kolejnych cyfr tego zapisu przedstawia liczbę (być może z zerami początkowymi) podzielną przez $ r $.

Dowieść, że jeżeli istnieje nieskończenie wiele liczb ładnych, to liczba $ 10^k-1 $ też jest ładna.

XVIII ZMPB - Zadanie 18

Niech $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ będą takimi liczbami całkowitymi różnymi od zera, że jedyną czwórką liczb całkowitych $ (x,y,z,t) $ spełniającą równanie

\[<br /> ax^2+by^2+cz^2+dt^2=0<br /> \]

jest $ x=y=z=t=0 $. Czy wynika stąd, że liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ mają jednakowy znak?

XVIII ZMPB - Zadanie 17

Niech $ x $, $ y $, $ z $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że liczba

\[<br /> {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x}<br /> \]

jest całkowita. Niech $ d $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ x $, $ y $ oraz $ z $. Udowodnić, że

\[<br /> d\le\sqrt[3]{xy+yz+zx}.<br /> \]

XVIII ZMPB - Zadanie 16

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi liczbami wymiernymi, że

\[<br /> s=a+b=a^2+b^2.<br /> \]

Wykazać, że liczbę $ s $ można zapisać w postaci ułamka, którego mianownik jest względnie pierwszy z liczbą 6.

LVIII OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita $ n\ge 1 $. Wyznaczyć liczbę możliwych wartości iloczynu $ k\cdot m $, gdzie $ k $, $ m $ są liczbami całkowitymi
spełniającymi nierówności

\[<br /> (1) \qquad n^2\le k\le m\le (n+1)^2.<br /> \]

LVIII OM - III - Zadanie 2

Liczbę całkowitą dodatnią nazwiemy białą, jeżeli jest równa 1
lub jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).
Pozostałe liczby całkowite dodatnie nazwiemy czarnymi.

Zbadać, czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia, że suma jej białych
dzielników jest równa sumie jej czarnych dzielników.

Subskrybuje zawartość