Planimetria

XXVII OM - I - Zadanie 9

W koło o promieniu 1 wpisano trójkąt o długościach boków $ a, b, c $. Dowieść, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 > 8 $, prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 = 8 $, rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 < 8 $.

XXVII OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że dowolną parę okręgów nie przecinających się można przekształcić przez inwersję na parę okręgów współśrodkowych.

Uwaga: Inwersją względem okręgu o środku $ O $ i promieniu $ r $ nazywamy przekształcenie, które każdemu punktowi $ X $ płaszczyzny zawierającej ten okrąg różnemu od punktu $ O $ przyporządkowuje punkt $ Y $ leżący na półprostej $ OX^\to $ taki, że $ OX \cdot OY= r^2 $. O własnościach inwersji można przeczytać w książce S. Straszewicz; Zadania z olimpiad matematycznych. Warszawa 1956, str. 181-186 t. I.

XXVII OM - I - Zadanie 3

Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości $ a $ obrano punkt, którego odległości od wierzchołków, trójkąta są równe $ x, y, z $. Donieść, że

\[<br /> a^4 - a^3(x^2+y^2+z^2) + x^4 + y^4 + z^4 - x^2y^2 - x^2z^2 - y^2z^2 = 0.<br /> \]

XXVIII - III - Zadanie 5

Udowodnić, że dla dowolnego wielokąta wypukłego istnieje koło, na którego brzegu leżą trzy kolejne wierzchołki tego wielokąta i które zawiera ten wielokąt.

XXVIII - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ s \geq 3 $ dany jest ciąg kół $ (K_n) $ oraz ciąg $ s $-kątów wypukłych $ (W_n) $ że

\[<br /> K_n \supset W_n \supset K_{n+1} \quad \text{ dla } n = 1,2, \ldots.<br /> \]

Dowieść, że ciąg średnic kół $ K_n $ dąży do zera.

XXVIII - II - Zadanie 6

Jaka jest największa liczba części, na które mogą rozciąć płaszczyznę brzegi $ n $ kwadratów?

XXVIII - II - Zadanie 2

Niech $ X $ będzie punktem wewnętrznym trójkąta $ ABC $ Dowieść, że iloczyn odległości punktu $ X $ od wierzchołków $ A, B, C $ jest co najmniej osiem razy większy od iloczynu odległości tego punktu od prostych $ AB, BC, CA $.

XXVIII - I - Zadanie 7

Trzy koła o promieniach równych 1 przecinają się tak, że ich część wspólna jest ograniczona trzema łukami, z których każdy należy do innego koła. Końce tych łuków oznaczmy przez $ K, L, M $. Pierwszy okrąg przecina drugi w punktach $ C $ i $ M $, drugi przecina trzeci w punktach $ A $ i $ K $, a trzeci przecina pierwszy w punktach $ B $ i $ L $.
Udowodnić, że suma długości łuków $ AM, BK, CL $ równa się $ \pi $.

XXVIII - I - Zadanie 3

Niech $ a $ i $ b $ będą liczbami naturalnymi. Prostokąt o bokach długości $ a $ i $ b $ podzielono prostymi równoległymi do boków na kwadraty jednostkowe. Przez wnętrza ilu kwadratów przechodzi przekątna prostokąta ?

XXIX OM - III - Zadanie 1

W danym kącie wypukłym na płaszczyźnie biegnie promień światła odbijając się od ramion kąta zgodnie z zasadą, że kąt padania równa się kątowi odbicia. Promień, który trafi w wierzchołek kąta, zostaje pochłonięty. Udowodnić, że istnieje taka liczba naturalna $ n $, że każdy promień może odbić się od ramion kąta co najwyżej $ n $ razy.

Subskrybuje zawartość