Olimpiada Matematyczna

X OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg liczb $13, 25, 43, \ldots$ którego $n$ -ty wyraz jest określony wzorem

$ a_n =3(n^2 + n) + 7. $

Dowieść, że ciąg ten ma następujące własności:

1° Wśród każdych pięciu kolejnych wyrazów ciągu dokładnie jeden jest podzielny przez $5$ ,

2° Żaden wyraz ciągu nie jest sześcianem liczby całkowitej.

X OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}$ i $0 \leq \beta < \frac{\pi}{2}$ , to

$ (1) \qquad \tg \frac{\alpha + \beta}{2} \leq \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{2}. $

X OM - II - Zadanie 2

Przy jakiej zależności między bokami trójkąta jest on podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych ?

X OM - II - Zadanie 1

Jaki warunek konieczny i dostateczny powinny spełniać współczynniki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , aby równanie

$ (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $

miało dwa pierwiastki przeciwne ?

X OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że, jeżeli w trójkącie $ABC$ liczby $\tg A$ , $\tg B$ i $\tg C$ tworzą postęp arytmetyczny, to liczby $\sin 2A$ , $\sin 2B$ i $\sin 2C$ tworzą również postęp arytmetyczny.

Po tej samej stronie prostej $AB$ zbudowano trzy półokręgi o średnicach $AB = a + b$ , $AC = a$ , $CB = b$ . Obliczyć promień koła wpisanego w figurę ograniczoną tymi półokręgami, mając dane $a$ i $b$ .

X OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli na każdym z czworokątów $ABCD$ i $CDEF$ można opisać okrąg, a proste $AB$ , $CD$ , $EF$ przecinają się w jednym punkcie $M$ , to na czworokącie $ABEF$ można opisać okrąg.