1980-1989

XXXIX OM - I - Zadanie 6

Spośród liczb $ 1, 2, \ldots, 3n $ ($ n > 2 $) wybieramy w sposób losowy cztery różne. Wybór każdej czwórki jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma wybranych liczb dzieli się przez 3.

XXXIX OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $ n $, dla których $ [n\sqrt{2}] $ jest potęgą liczby 2.
Uwaga: $ [x] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ x $.

XXXIX OM - I - Zadanie 4

W elipsę wpisano trójkąt o maksymalnym obwodzie. Udowodnić, że w każdym wierzchołku kąty między styczną do elipsy a bokami wychodzącymi z tego wierzchołka są równe.

XXXIX OM - I - Zadanie 3

Dla danego punktu $ P $ leżącego wewnątrz trójkąta $ ABC $ rozważamy
punkty $ A' $ i $ A'' $ leżące na półprostej $ AP^{\rightarrow} $ tak, że $ A' \in BC $, $ |AA''| = 2|AA'| $;
punkty $ B' $ i $ B'' $ leżące na półprostej $ BP^{\rightarrow} $ tak, że $ B' \in CA $, $ |BB''| = 2|BB'| $;
punkty $ C' $ i $ C'' $ leżące na półprostej $ CP^{\rightarrow} $ tak, że $ C \in AB $, $ |CC''| = 2|CC'| $.
Wyrazić pole trójkąta $ A''B''C'' $ za pomocą pól trójkątów $ ABC $ i $ A'B'C' $.

XXXIX OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ t $ takie, że funkcja

\[<br /> f(x) = |\sin tx + \cos x|<br /> \]

przyjmuje wartość 2.

XXXIX OM - I - Zadanie 1

Dla każdej liczby dodatniej $ a $ wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu $ x^3+(a+2)x^2-x-3a $.

XL OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a, b, c, d $ spełniona jest nierówność

\[<br /> \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} \geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{6}}.<br /> \]

XL OM - III - Zadanie 5

Na sferze o promieniu $ r $ leżą trzy okręgi o promieniu $ a $, parami styczne i zawarte w jednej półsferze. Znaleźć promień okręgu leżącego na tej samej sferze i stycznego do każdego z tych trzech okręgów.

Uwaga Podobnie jak na płaszczyźnie, mówimy, że dwa okręgi leżące na sferze są styczne, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny.

XL OM - III - Zadanie 4

Niech $ n, k $ będą liczbami naturalnymi. Wybieramy ciąg zbiorów $ A_0,\ldots, A_k $ tak, że $ A_0 = \{1,\ldots, n\} $, a dla $ i = 1,\ldots, k $ zbiór $ A_i $ jest losowo wybranym podzbiorem $ A_{i-1} $, przy czym wybór każdego podzbioru jest jednakowo prawdopodobny. Rozpatrujemy zmienną losową równą liczbie elementów $ A_k $ . Dowieść, że jej wartość oczekiwana jest równa $ n2^{-k} $.

XL OM - III - Zadanie 3

Numerujemy krawędzie sześcianu liczbami od 1 do 12.
(a) Dowieść, że dla dowolnego ponumerowania istnieje co najmniej osiem trójek liczb całkowitych $ (i,j,k) $, gdzie $ 1\leq i< j < k\leq 12 $, takich, że krawędzie o numerach $ i,j,k $ są kolejnymi bokami łamanej.
(b) Podać przykład ponumerowania, dla którego nie istnieje dziewięć trójek o własnościach wymienionych w (a).

Subskrybuje zawartość