1970-1979

XXIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że na płaszczyźnie dowolna łamana zamknięta o długości 1 zawiera się w pewnym kole o promieniu długości $ \frac{1}{4} $

XXIX OM - I - Zadanie 5

Dla jakich liczb naturalnych $ n $ istnieją niezerowe wielomiany
$ f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $, $ g(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $ o współczynnikach całkowitych spełniające równość

\[<br /> \left(\sum_{i=1}{n} x_i\right)\cdot f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) = g(x_1^2,x_2^2, \ldots ,x_n^2) ?<br /> \]

XXIX OM - I - Zadanie 4

Niech $ Y $ będzie figurą składającą się z odcinków domkniętych $ \overline{OA} $, $ \overline{OB} $, $ \overline{OC} $, przy czym punkt O leży wewnątrz trójkąta $ ABC $. Dowieść, że w żadnym kwadracie nie można umieścić nieskończenie wielu wzajemnie rozłącznych izometrycznych obrazów figury $ Y $.

XXIX OM - I - Zadanie 3

Niech $ a, b, c, d $ będą długościami boków dowolnego czworokąta. Dowieść, że istnieje trapez, którego boki mają długości $ a, b, c, d $.

XXIX OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby naturalnej $ k>7 $ skonstruować ciąg $ S = (a_0, a_1, \ldots, a_{k-1}) $ o tej własności, że dla każdego $ i $ ($ 0 < i < k - 1 $) $ a_i $ równe liczbie wyrazów ciągu $ S $ równych $ i $.

XXIX OM - I - Zadanie 1

Ciąg liczb $ (p_n) $ określony jest następująco: $ p_1 = 2 $, $ p_n $ jest największym dzielnikiem pierwszym sumy $ p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1 $. Dowieść, że w ciągu $ (p_n) $ nie wystąpi liczba 5.

XXX OM - III - Zadanie 6

Wielomian $ w $ stopnia $ n $ ($ n>1 $) ma $ n $ różnych pierwiastków Wnczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_n $. Udowodnić, że

\[<br /> \frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0.<br /> \]

XXX OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

XXX OM - III - Zadanie 4

Dane są liczby rzeczywiste $ A > 1 $ i $ B > 1 $ oraz ciąg $ (x_n) $ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $ (y_n) $ liczb z przedziału $ [1, A] $, że

\[<br /> \frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ dla }\quad m,n = 1,2,\ldots .<br /> \]

XXX OM - III - Zadanie 3

Doświadczenie polega na wykonaniu $ n $ niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w $ i $-tej próbie wynosi $ p_i $. Niech $ r_k $ będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie $ k $ prób da wynik pozytywny. Udowodnić, że

\[<br /> \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k.<br /> \]
Subskrybuje zawartość