1960-1969

XIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli wielomian $ F(x) $ o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek $ \frac{p}{q} $, gdzie $ p $ i $ q $ są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, to $ p - q $ jest dzielnikiem liczby $ F(1) $, a $ p + q $ jest dzielnikiem liczby $ F(-1) $.

XIX OM - I - Zadanie 5

Dany jest zbiór $ 2n $ ($ n \geq 2 $) różnych liczb. Jak podzielić ten zbiór na pary, żeby suma iloczynów liczb poszczególnych par była a) najmniejsza, b) największa?

XIX OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dane są proste równoległe $ a $ i $ b $ oraz punkt $ M $ leżący na zewnątrz pasa ograniczonego tymi prostymi. Wyznaczyć na prostych $ a $ i $ b $ odpowiednio punkty $ A $ i $ B $ w taki sposób, żeby odcinek $ AB $ był prostopadły do $ a $ i $ b $, a przy tym kąt $ AMB $ był największy.

XIX OM - I - Zadanie 3

Na dwóch prostych skośnych leżą odcinki $ AB $ i $ CD $, których środkami są odpowiednio punkty $ M $ i $ N $. Dowieść, że

\[<br /> MN < \frac{1}{2}(AD + BC).<br /> \]

XIX OM - I - Zadanie 2

Niech $ p(n) $ oznacza liczbę liczb pierwszych nie większych od liczby naturalnej $ n $. Dowieść, że jeżeli $ n \geq 8 $, to $ p(n) < \frac{n}{2} $

XX OM - III - Zadanie 6

Dany jest zbiór $ n $ punktów płaszczyzny nie zawierający się w jednej prostej. Dowieść, że istnieje okrąg przechodzący przez co najmniej trzy z tych punktów, wewnątrz którego nie ma żadnego z pozostałych punktów zbioru.

XX OM - III - Zadanie 5

Dla jakich wartości $ n $ istnieje wielościan mający $ n $ krawędzi?

XX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a, b, p, q, r, s $, spełniają warunki

\[<br /> (1) \; qr-ps = 1,\quad (2) \; \frac{p}{q} < \frac{a}{b} < \frac{r}{s}<br /> \]

to

\[<br /> b \geq q+s.<br /> \]

XX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że ośmiokąt, którego wszystkie boki są równe, a wszystkie długości boków są liczbami wymiernymi, ma środek symetrii.

Subskrybuje zawartość