1949-1959

X OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli punkt $ P $ porusza się w płaszczyźnie trójkąta $ ABC $, to trójkąt $ S_1S_2S_3 $, którego wierzchołkami są środki ciężkości $ S_1 $, $ S_2 $ i $ S_3 $ trójkątów $ PBC $, $ PCA $ i $ PAB $ nic zmienia kształtu ani wielkości.

X OM - I - Zadanie 3

Na jednym ramieniu kąta obrano punkty $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $, a na drugim punkty $ B_1 $, $ B_2 $, $ B_3 $ w ten sposób, że prosta $ A_1B_2 $ jest równoległa do prostej $ A_2B_1 $, a prosta $ A_2B_3 $ jest równoległa do prostej $ A_3B_2 $. Dowieść, że proste $ A_1B_3 $ i $ A_3B_1 $ są równolegle.

X OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 1 $, to

\[<br /> \left( 1 - \frac{1}{4} \right)<br /> \left( 1 - \frac{1}{9} \right)<br /> \left( 1 - \frac{1}{16} \right)<br /> \ldots<br /> \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) =<br /> \frac{n+1}{2n}.<br /> \]

I OM - I - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ kąt $ A $ jest dany. Czy można obliczyć kąty $ B $ i $ C $, gdy wiadomo, że pewna prosta przechodząca przez punkt $ A $ dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne?

I OM - I - Zadanie 3

Zbudować trójkąt równoboczny, którego wierzchołki leżą na trzech danych prostych równoległych.

I OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że suma sześcianów $ n $ kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

I OM - B - Zadanie 20

Boki trójkąta prostokątnego są wyrażone liczbami naturalnymi. Jedna z przyprostokątnych wyrażona jest liczbą 10. Obliczyć pozostałe boki tego trójkąta.

Subskrybuje zawartość