Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

XI OM - III - Zadanie 5

Z cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ utworzono wszystkie możliwe liczby czterocyfrowe o cyfrach różnych. Znaleźć sumę tych liczb.

XI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie

$ (1) \qquad x^4 + ax + b = 0 $

ma dwa równe pierwiastki, to

$ (2) \qquad \left( \frac{a}{4} \right)^4 = \left( \frac{b}{3} \right)^3. $

XI OM - III - Zadanie 3

Na okręgu obrano 6 różnych punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ w ten sposób, że $AB$ jest równolegle do $DE$ , a $DC$ jest równolegle do $AF$ . Dowieść, że $BC$ jest równoległe do $EF$ .

Przez wysokość czworościanu foremnego poprowadzono płaszczyznę, która przecina płaszczyzny ścian bocznych wzdłuż $3$ prostych tworzących z płaszczyzną podstawy czworościanu kąty $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Dowieść, że

$ (1) \qquad \tg^2 \alpha + \tg^2 \beta + \tg^2 \gamma =12. $

XI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą większą od $4$ , to $2^n$ jest większe, od $n^2$ .

XI OM - II - Zadanie 6

Obliczyć objętość czworościanu $ABCD$ mając dane krawędzie $AB = b$ , $AC = c$ , $AD = d$ oraz kąty $\measuredangle CAD = \beta$ , $\measuredangle DAB = \gamma$ i $\measuredangle BAC = \delta$ .

XI OM - II - Zadanie 5

Dane są na prostej trzy różne punkty $A$ , $B$ , $C$ i punkt $S$ poza tą prostą; prostopadle poprowadzone w punktach $A$ , $B$ , $C$ do prostych $SA$ , $SB$ , $SC$ przecinają się w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że punkty $M$ , $N$ , $P$ , $S$ leżą na okręgu.

XI OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

$ 2^{n+2} + 3^{2n+1} $

jest podzielna przez $7$ .

XI OM - II - Zadanie 3

Dane są dwa okręgi o wspólnym środku $O$ i punkt $A$ . Zbudować okrąg o środku $A$ przecinający okręgi dane w takich punktach $M$ i $N$ , żeby prosta $MN$ przechodziła przez punkt $O$ .

XI OM - II - Zadanie 2

Dane są równania

$ \begin{array}{c} x^2 + p_1x + q_1 = 0\\ x^2 + p_2x + q_2 = 0\\ x^2 + p_3x + q_3 = 0, \end{array} $

z których każde dwa mają wspólny pierwiastek, ale wszystkie trzy nie mają wspólnego pierwiastka. Dowieść, że

$ (1^\circ) \qquad 2 (p_1p_2 + p_2p_3 + p_3p_1) - (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) = 4 (q_1 + q_2+ q_3) $

$ (2^\circ) \qquad \textrm{pierwiastki tych równań są wymierne, gdy liczby $p_1$, $p_2$ i $p_3$ są wymierne}. $

Olimpiady Matematyczne