Liczby całkowite

LVIII OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są liczbami całkowitymi dodatnimi oraz $ \ ad=b^2+bc+c^2\;,\; $ to liczba

\[<br /> a^2+b^2+c^2+d^2$$<br /> \]

jest złożona.

LVIII OM - I - Zadanie 9

Niech $ F(k) $ będzie iloczynem wszystkich dodatnich dzielników liczby całkowitej dodatniej $ k $. Rozstrzygnąć, czy istnieją różne liczby całkowite dodatnie $ m $, $ n $, dla których $ {F(m)=F(n)} $.

LVIII OM - I - Zadanie 8

Niech $ p $ będzie liczbą pierwszą. Dowieść, że istnieje taka permutacja $ (x_1,x_2,\ldots,x_{p-1}) $ zbioru $ \{1,2,\ldots,p{-}1\} $, że liczby

\[<br /> x_1,\;\;\; x_1x_2,\;\;\; x_1x_2x_3,\;\;\; \ldots,\;\;\; x_1x_2...x_{p-1}<br /> \]

dają różne reszty przy dzieleniu przez $ p $.

LVIII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $ k $, $ m $, dla których każda z liczb $ {k^2+4m} $, $ {m^2+5k} $ jest kwadratem liczby całkowitej.

I OM - B - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli suma trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3, to suma sześcianów tych liczb jest
także podzielna przez 3.

I OM - B - Zadanie 6

Dowieść, że liczba, która w dziesiątkowym układzie
pozycyjnym wyraża się za pomocą 91 jedynek, jest liczbą złożoną.

I OM - B - Zadanie 4

Znaleźć dwie liczby naturalne $ a $ i $ b $ mając ich największy wspólny podzielnik
$ D=12 $ oraz najmniejszą wspólną wielokrotność $ M=432 $. Podać sposób poszukiwania
rozwiązań w przypadku ogólnym.

I OM - B - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli liczba $ a $ jest sumą kwadratów dwóch różnych liczb
naturalnych, to $ a^2 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych.

LIX OM - III -Zadanie 6

Niech $ S $ będzie zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które można przedstawić w postaci $ a^2 +5b^2 $
dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych $ a $ i $ b $. Niech ponadto $ p $ będzie liczbą pierwszą dającą resztę
3 z dzielenia przez 4. Wykazać, że jeżeli pewna dodatnia wielokrotność liczby $ p $ należy do zbioru $ S $, to również liczba
$ 2p $ należy do zbioru $ S $.

LIX OM - II -Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita dodatnia $ n $ niepodzielna przez 3. Udowodnić, że istnieje liczba $ m $ o następującej własności:
Każda liczba całkowita nie mniejsza niż $ m $ jest sumą cyfr pewnej wielokrotności liczby $ n $.

Subskrybuje zawartość