Planimetria

XXIX OM - II - Zadanie 4

Spośród wierzchołków $ 2n $-kąta foremnego wybrano losowo 3 różne punkty. Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach jest ostrokątny. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.
Uwaga. Zakładamy, że wszystkie wybory trzech różnych punktów są jednakowo prawdopodobne.

XXIX OM - II - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dany jest zbiór $ M $ punktów o następujących własnościach:
1. Punkty zbioru $ M $ nie leżą na jednej prostej,
2. Jeżeli punkty $ A, B, C, D $są wierzchołkami równoległoboku oraz $ A, B, C \in M $, to $ D \in M $,
3. Jeżeli $ A, B \in M $, to $ AB \geq 1 $.
Udowodnić, że istnieją takie dwie rodziny prostych równoległych, że $ M $ jest zbiorem wszystkich punktów przecięcia prostych pierwszej rodziny z prostymi drugiej rodziny.

XXIX OM - I - Zadanie 12

Wyznaczyć kres górny zbioru takich liczb $ \alpha \leq \frac{\pi}{2} $, że każdy kąt ostry $ MON $ o mierze $ \alpha $ i każdy trójkąt $ T $ na płaszczyźnie mają następującą własność. Istnieje trójkąt $ ABC $ izometryczny z $ T $ taki, że bok $ \overline{AB}% jest równoległy do $OM$ oraz proste prostopadłe do $ON$ i przechodzące przez środki ciężkości trójkątów $ABC$ oraz $ABC'$ odpowiednio przecinają odcinek $\overline{AB}; $ C' $ jest obrazem symetrycznym wierzchołka $ C $ względem symetralnej boku $ \overline{AB} $.
Uwaga. Fizycznie zadanie oznacza: Jaki ma być kąt nachylenia równi pochyłej, aby dla dowolnego trójkąta można było wybrać pewien bok tak, że trójkąt przyłożony tym bokiem do równi nie przewróci się.

XXIX OM - I - Zadanie 10

Punkt $ O $ jest punktem wewnętrznym czworokąta wypukłego $ ABCD $, $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $, $ D_1 $ są rzutami prostokątnymi punktu $ O $ odpowiednio na proste $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $, $ A_{i+1} $, $ B_{i+1} $, $ C_{i+1} $, $ D_{i+1} $ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktu $ O $ na proste $ A_iB_i $, $ B_iC_i $, $ C_iD_i $, $ D_iA_i $. Dowieść, że czworokąty $ A_4B_4C_4D_4 $ i $ ABCD $ są podobne.

XXIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że na płaszczyźnie dowolna łamana zamknięta o długości 1 zawiera się w pewnym kole o promieniu długości $ \frac{1}{4} $

XXIX OM - I - Zadanie 4

Niech $ Y $ będzie figurą składającą się z odcinków domkniętych $ \overline{OA} $, $ \overline{OB} $, $ \overline{OC} $, przy czym punkt O leży wewnątrz trójkąta $ ABC $. Dowieść, że w żadnym kwadracie nie można umieścić nieskończenie wielu wzajemnie rozłącznych izometrycznych obrazów figury $ Y $.

XXIX OM - I - Zadanie 3

Niech $ a, b, c, d $ będą długościami boków dowolnego czworokąta. Dowieść, że istnieje trapez, którego boki mają długości $ a, b, c, d $.

XXX OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

XXX OM - II - Zadanie 6

Na boku $ \overline{DC} $ prostokąta $ ABCD $, w którym $ \frac{AB}{AD} = \sqrt{2} $ zbudowano zewnętrznie półokrąg. Dowolny punkt $ M $ półokręgu połączono odcinkami z $ A $ i $ B $ otrzymując na $ \oveline{DC} $ odpowiednio punkty $ K $ i $ L $. Dowieść, że $ DL^2 + KC^2 = AB^2 $.

XXX OM - II - Zadanie 4

Niech $ S_k $ będzie symetrią płaszczyzny względem prostej $ k $. Udowodnić, że dla każdych prostych $ a, b, c $ zawartych w jednej płaszczyźnie zachodzi równość

\[<br /> S_aS_bS_cS_aS_bS_cS_bS_cS_aS_bS_cS_a = S_bS_cS_aS_bS_cS_aS_aS_bS_cS_aS_bS_c<br /> \]
Subskrybuje zawartość