Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Olimpiada Matematyczna

X OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną większą od $1$ , a $d$ dowolną liczbą dodatnią, to

$ \textrm{a)} \qquad (1 + d)^n > 1 + nd, $

$ \textrm{b)} \qquad 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n < (n + 1)^n. $

X OM - I - Zadanie 5

Rozwiązać równanie

$ \sqrt{x - 2 \sqrt{x-1}} - \sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x-1}} = 1. $

Dowieść, że jeżeli punkt $P$ porusza się w płaszczyźnie trójkąta $ABC$ , to trójkąt $S_1S_2S_3$ , którego wierzchołkami są środki ciężkości $S_1$ , $S_2$ i $S_3$ trójkątów $PBC$ , $PCA$ i $PAB$ nic zmienia kształtu ani wielkości.

X OM - I - Zadanie 3

Na jednym ramieniu kąta obrano punkty $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , a na drugim punkty $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ w ten sposób, że prosta $A_1B_2$ jest równoległa do prostej $A_2B_1$ , a prosta $A_2B_3$ jest równoległa do prostej $A_3B_2$ . Dowieść, że proste $A_1B_3$ i $A_3B_1$ są równolegle.

X OM - I - Zadanie 2

Wykazać, że

$ (1) \qquad \sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}} = 4. $

X OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą naturalną większą od $1$ , to

$ \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \ldots \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{n+1}{2n}. $

XI OM - III - Zadanie 6

Na obwodzie prostokąta obrano punkt $M$ . Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt $M$ i która ma z każdym bokiem prostokąta jakiś punkt wspólny.

XI OM - III - Zadanie 5

Z cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ utworzono wszystkie możliwe liczby czterocyfrowe o cyfrach różnych. Znaleźć sumę tych liczb.

XI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie

$ (1) \qquad x^4 + ax + b = 0 $

ma dwa równe pierwiastki, to

$ (2) \qquad \left( \frac{a}{4} \right)^4 = \left( \frac{b}{3} \right)^3. $

XI OM - III - Zadanie 3

Na okręgu obrano 6 różnych punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ w ten sposób, że $AB$ jest równolegle do $DE$ , a $DC$ jest równolegle do $AF$ . Dowieść, że $BC$ jest równoległe do $EF$ .