1990-1999

XLIX OM - II - Zadanie 3

(a) Liczby nieujemne $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , których suma jest równa $1$ , spełniają zależność

$ ace +bdf \geq \frac{1}{108}. $

Udowodnić, że

$ abc + bcd + cde + def + ef a + f ab < \frac{1}{36} . $

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje sześć różnych liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ o sumie równej $1$ , dla których obie napisane wyżej nierówności stają się równościami.

W trójkącie $ABC$ kąt $BCA$ jest rozwarty oraz $\measuredangle BAC = 2\measuredangle ABC$ . Prosta przechodząca przez punkt $B$ i prostopadła do $BC$ przecina prosta $AC$ w punkcie $D$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Dowieść, ze $\measuredangle AMC = \measuredangle BMD$ .

XLIX OM - II - Zadanie 1

Niech $A_n = \{1, 2,\ldots, n\}$ . Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ istnieją funkcje $f: A_n \to A_n$ , $g: A_n \to A_n$ , spełniające warunki:

$ f (f (k))= g(g(k)) = k\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n; $

$ g(f (k)) = k + 1\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n-1. $

L OM - III - Zadanie 6

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ zachodzą równości:

$ \measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = 360^\circ ,\qquad \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA}=1. $

Dowieść, że $\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FD}{DE} \cdot \frac{EC}{CA}=1$ .

L OM - III - Zadanie 5

Niech $a_1,a_2, \ldots, a_n$ , $b_1,b_2, \ldots, b_n$ będą liczbami całkowitymi. Udowodnić, że

$ \sum_{1 \leq i < j \leq n}(|a_i-a_j|+|b_i-b_j|)\leq\sum_{1\leq i,j\leq n}|a_i-b_j|. $

L OM - III - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb naturalnych $n \geq 2$ układ równań

$ \left\{\begin{array}{c} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+50=16x_{1}+12x_{2}\\ x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+50=16x_{2}+12x_{3}\\ x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+50=16x_{3}+12x_{4}\\ \vdots\\ x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}+50=16x_{n-1}+12x_{n}\\ x_{n}^{2}+x_{1}^{2}+50=16x_{n}+12x_{1} \end{array} \right. $

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$ .

L OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieją takie liczby naturalne $n_1 <n_2 < \ldots < n_{50}$ , że

$ n_1 + S(n_1)= n_2 + S(n_2)= n_3 + S(n_3)= \ldots = n_{50} + S(n_{50}) , $

gdzie $S(n)$ jest sumą cyfr liczby $n$ .

L OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby całkowite nieujemne $a_1 <a_2 <a_3 < \ldots < a_{101}$ mniejsze od $5050$ . Dowieść, że spośród nich można wybrać takie cztery różne $a_k$ , $a_l$ , $a_m$ , $a_n$ , że liczba $a_k + a_l -a_m -a_n$ jest podzielna przez $5050$ .