1990-1999

XLIX OM - II - Zadanie 6

Dany jest czworościan $ ABCD $. Dowieść, że krawędzie $ AB $ i $ CD $ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w przestrzeni taki równoległobok $ CDPQ $, że $ PA = PB = PD $ oraz $ QA = QB = QC $.

XLIX OM - II - Zadanie 5

Liczby nieujemne $ a_1, a_2,\ldots, a_7 $, $ b_1, b_2,\ldots, b_7 $ spełniają warunek

\[<br /> a_i + b_i \leq 2 \quad \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, 7.<br /> \]

Wykazać, że dla pewnych dwóch różnych liczb $ k, m \in \{1, 2,\ldots, 7\} $ zachodzi nierówność $ |a_k - a_m| + |b_k - b_m| \leq 1 $.

XLIX OM - II - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $ x $, $ y $ spełniające równanie

\[<br /> x^2 + 3y^2 = 1998x.<br /> \]

XLIX OM - II - Zadanie 3

(a) Liczby nieujemne $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $, których suma jest równa $ 1 $, spełniają zależność

\[<br /> ace +bdf \geq \frac{1}{108}.<br /> \]

Udowodnić, że

\[<br /> abc + bcd + cde + def + ef a + f ab < \frac{1}{36} .<br /> \]

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje sześć różnych liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $ o sumie równej $ 1 $, dla których obie napisane wyżej nierówności stają się równościami.

XLIX OM - II - Zadanie 2

W trójkącie $ ABC $ kąt $ BCA $ jest rozwarty oraz $ \measuredangle BAC = 2\measuredangle ABC $. Prosta przechodząca przez punkt $ B $ i prostopadła do $ BC $ przecina prosta $ AC $ w punkcie $ D $. Punkt $ M $ jest środkiem boku $ AB $. Dowieść, ze $ \measuredangle AMC = \measuredangle BMD $.

XLIX OM - II - Zadanie 1

Niech $ A_n = \{1, 2,\ldots, n\} $. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ istnieją funkcje $ f: A_n \to A_n $, $ g: A_n \to A_n $, spełniające warunki:

\[<br /> f (f (k))= g(g(k)) = k\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n;<br /> \]
\[<br /> g(f (k)) = k + 1\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n-1.<br /> \]

L OM - III - Zadanie 6

W sześciokącie wypukłym $ ABCDEF $ zachodzą równości:

\[<br /> \measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = 360^\circ ,\qquad \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA}=1.<br /> \]

Dowieść, że $ \frac{AB}{BF} \cdot \frac{FD}{DE} \cdot \frac{EC}{CA}=1 $.

L OM - III - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb naturalnych $ n \geq 2 $ układ równań

\[<br /> \left\{\begin{array}{c}<br /> x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+50=16x_{1}+12x_{2}\\<br /> x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+50=16x_{2}+12x_{3}\\<br /> x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+50=16x_{3}+12x_{4}\\<br /> \vdots\\<br /> x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}+50=16x_{n-1}+12x_{n}\\<br /> x_{n}^{2}+x_{1}^{2}+50=16x_{n}+12x_{1}<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych $ x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n $.

L OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieją takie liczby naturalne $ n_1 <n_2 < \ldots < n_{50} $, że

\[<br /> n_1 + S(n_1)= n_2 + S(n_2)= n_3 + S(n_3)= \ldots = n_{50} + S(n_{50}) ,<br /> \]

gdzie $ S(n) $ jest sumą cyfr liczby $ n $.

Subskrybuje zawartość