1980-1989

XL OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ są styczne zewnętrznie w punkcie $ P $, okręgi $ k_3 $ i $ k_1 $ — w punkcie $ Q $, okręgi $ k_1 $ i $ k_2 $ — w punkcie $ R $. Prosta $ PQ $ przecina okrąg $ k_1 $ jeszcze w punkcie $ S $, a prosta $ PR $ — w punkcie $ T $. Prosta $ SR $ przecina okrąg $ k_2 $ również w punkcie $ U $, a prosta $ TQ $ przecina $ k_3 $ jeszcze w punkcie $ V $. Udowodnić, że punkt $ P $ leży na prostej $ UV $.

Rozwiązanie

om40_3r_img_6.jpg

Oznaczmy okrąg wpisany w trójkąt $ O_1O_2O_3 $ przez $ k $, jego środek przez $ I $, a środki okręgów $ k_1 $, $ k_2 $ , $ k_3 $ - przez $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $. Okrąg $ k $ jest styczny do boków trójkąta $ O_1O_2O_3 $ w punktach $ P $, $ Q $, $ R $; wymka to z równości $ |O_1Q| = |O_1R| $, $ |O_2R| = |O_2P| $, $ |O_3P| = |O_3Q| $.

Zachodzą następujące równości kątów (rysunek 6):

\[<br /> \begin{split}<br /> |\measuredangle RPQ| = \frac{1}{2} |\measuredangle RIQ| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } k);\\<br /> |\measuredangle QSR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\<br /> |\measuredangle QTR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\<br /> |\measuredangle RIQ| + |\measuredangle QO_1R| = 180^\circ &\ \textrm{(przeciwległe kąty czworokąta } IQO_1R \textrm{ o pozostałych dwóch kątach prostych)}.<br /> \end{split}<br /> \]

Z tych równości otrzymujemy z kolei związek

\[<br /> |\measuredangle QSR| = |\measuredangle QTR| = 90^\circ -|\measuredangle RPQ|,<br /> \]

który oznacza, że trójkąty $ PRS $ i $ PQT $ są prostokątne: $ PT \bot SU $, $ PS \bot TY $.

Tak więc kąty $ PRU $ i $ PQV $ są proste. Są to kąty wpisane w okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ i muszą być oparte na półokręgach. Zatem odcinki $ PU $ i $ PV $ są średnicami tych okręgów; są wobec tego prostopadłe do wspólnej stycznej (prostej $ PI $). Stąd wynika współliniowość punktów $ U $, $ P $, $ V $.

XL OM - III - Zadanie 1

Do obrad przy okrągłym stole zasiadła parzysta liczba osób. Po przerwie obiadowej uczestnicy zajęli miejsca przy stole w sposób dowolny. Udowodnić, że istnieją dwie osoby przedzielone tą samą, co przed przerwą, liczbą osób.

XL OM - II - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $ przez punkt wewnętrzny $ P $ poprowadzono proste $ CP $, $ AP $, $ BP $ przecinające boki $ AB $, $ BC $, $ CA $ odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $. Udowodnić, że jeśli w czworokąty $ AKPM $ i $ KBLP $ można wpisać koła, to w czworokąt $ LCMP $ też można wpisać koło.

XL OM - II - Zadanie 5

Dany jest ciąg $ (c_n) $ liczb naturalnych określony rekurencyjnie: $ c_1 = 2 $, $ c_{n+1} = \left[ \frac{3}{2}c_n\right] $. Udowodnić, że wśród wyrazów tego ciągu jest nieskończenie wiele liczb parzystych i nieskończenie wiele liczb nieparzystych.

XL OM - II - Zadanie 4

Dane są liczby całkowite $ a_1, a_2, \ldots , a_{11} $ . Udowodnić, że istnieje taki niezerowy ciąg $ x_1, x_2, \ldots, x_{11} $ o wyrazach ze zbioru $ \{-1,0,1\} $, że liczba $ x_1a_1 + \ldots x_{11}a_{11} $ jest podzielna przez 1989.

XL OM - II - Zadanie 3

Dany jest kąt trójścienny $ OABC $ o wierzchołku $ O $ oraz punkt $ P $ w jego wnętrzu. Niech $ V $ będzie objętością równoległościanu o dwóch wierzchołkach w punktach $ O $ i $ P $, którego trzy krawędzie są zawarte w półprostych $ OA^{\rightarrow} $, $ OB^{\rightarrow} $, $ OC^{\rightarrow} $. Obliczyć minimalną objętość czworościanu, którego trzy ściany są zawarte w ścianach kąta trójściennego $ OABC $, a czwarta ściana zawiera punkt $ P $.

XL OM - II - Zadanie 2

Dla losowo wybranej permutacji $ \mathbf{f} = (f_1,</p> <p>\ldots, f_n) $ zbioru $ \{1,\ldots, n\} $ oznaczmy przez $ X(\mathbf{f}) $ największą liczbę $ k \leq n $ taką, że $ f_i < f_{i+1} $ dla wszystkich numerów $ i < k $. Udowodnić, że wartość oczekiwana zmiennej losowej $ X $ wynosi $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} $.

XL OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej $ k\geq l $ istnieje taka liczba rzeczywista $ x $, że przy każdym całkowitym $ m \geq 1 $ liczba $ [x^m] + 1 $ dzieli się przez $ k $.

XL OM - I - Zadanie 11

Punkty $ A_1 $ , $ A_2 $ , $ A_3 $ , $ A_4 $ leżą na powierzchni sfery, przy czym odległość każdych dwóch z nich jest mniejsza od długości krawędzi czworościanu foremnego wpisanego w tę sferę. Dowieść, że wszystkie te punkty można oświetlić jednym punktowym źródłem światła umieszczonym na zewnątrz sfery.

Subskrybuje zawartość