1970-1979

XXX OM - I - Zadanie 8

Spośród stożków wpisanych w kulę $ B $ wybrano taki stożek $ S_1 $ że kula $ K_1 $ wpisana w stożek $ S_1 $ ma maksymalną objętość. Następnie w kulę $ B $ wpisano stożek $ S_2 $ o maksymalnej objętości, a w stożek $ S_2 $ wpisano kulę $ K_2 $. Rozstrzygnąć, co jest większe: suma objętości $ S_1 $ i $ K_1 $, czy suma objętości $ S_2 $ i $ K_2 $.

XXX OM - I - Zadanie 7

Dla danego, naturalnego $ n $ obliczyć liczbę liczb całkowitych $ x $ z przedziału $ [1, n] $, dla których $ x^3 - x $ jest podzielne przez $ n $.

XXX OM - I - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie środek koła wpisanego, punkt przecięcia wysokości i środek koła opisanego leżą na jednej prostej, to trójkąt jest równoramienny.

XXX OM - I - Zadanie 5

Znaleźć taką liczbą rzeczywistą $ m $, dla której iloczyn pewnych dwóch pierwiastków rzeczywistych równania

\[<br /> 2x^4 - 7x^3 + mx^2 + 22x - 8 = 0<br /> \]

wynosi 2.

XXX OM - I - Zadanie 4

W wielościanie wypukłym $ Q $ umieszczono wielościan wypukły $ P $, w którym obrano punkt wewnętrzny $ O $. Dla każdego punktu $ X $ leżącego na ścianie wielościanu $ Q $ oznaczono przez $ P_X $ punkt przecięcia odcinka $ \overline{OX} $ ze ścianą wielościanu $ P $. Dowieść, że istnieje taki wierzchołek $ Y $ wielościanu $ Q $, że

\[<br /> \frac{OY}{OP_Y} \geq \frac{OX}{OP_X}<br /> \]

dla każdego punktu $ X $ leżącego na dowolnej ścianie wielościanu $ Q $.

XXX OM - I - Zadanie 3

Liczby $ a, b, c, d, e $ są liczbami wymiernymi dodatnimi. Dowieść, że istnieją takie liczby wymierne $ u_1, u_2, \ldots, u_n $ oraz liczby wymierne nieujemne $ w_1, w_2, \ldots, w_n $, że

\[<br /> \frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{d}+\sqrt[4]{e}} = u_1\sqrt[4]{w_1} + u_2\sqrt[4]{w_2} + \ldots + u_n\sqrt[4]{w_n}.<br /> \]

XXX OM - I - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $ n $ punktów ($ n > 4 $), z których żadne trzy nie są współliniowe. Udowodnić, że istnieje co najmniej $ \binom{n-3}{2} $ czworokątów wypukłych, których wierzchołkami są pewne z danych punktów.

XXX OM - I - Zadanie 1

Danych jest siedem liczb należących do przedziału, $ [1, 10] $. Udowodnić, że trzy spośród nich są długościami boków pewnego trójkąta.

Subskrybuje zawartość