1970-1979

XXX OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że cztery proste łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe tym wierzchołkom mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy trzy iloczyny długości przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

XXX OM - III - Zadanie 1

Dany jest zbiór $\{r_1, r_2, \ldots, r_k\}$ liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez liczbę naturalną $m$ dają różne reszty. Udowodnić, że jeżeli $k > \frac{m}{2}$ , to dla każdej liczby całkowitej $n$ istnieją takie $i$ oraz $j$ ( $n$ niekoniecznie różne), że liczba $r_i + r_j - n$ jest podzielna przez $m$ .

XXX OM - II - Zadanie 6

Na boku $\overline{DC}$ prostokąta $ABCD$ , w którym $\frac{AB}{AD} = \sqrt{2}$ zbudowano zewnętrznie półokrąg. Dowolny punkt $M$ półokręgu połączono odcinkami z $A$ i $B$ otrzymując na $\oveline{DC}$ odpowiednio punkty $K$ i $L$ . Dowieść, że $DL^2 + KC^2 = AB^2$ .

XXX OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że wśród każdych dziesięciu kolejnych liczb naturalnych istnieje taka, która jest względnie pierwsza z każdą z pozostałych dziewięciu.

XXX OM - II - Zadanie 4

Niech $S_k$ będzie symetrią płaszczyzny względem prostej $k$ . Udowodnić, że dla każdych prostych $a, b, c$ zawartych w jednej płaszczyźnie zachodzi równość

$<br /> S_aS_bS_cS_aS_bS_cS_bS_cS_aS_bS_cS_a = S_bS_cS_aS_bS_cS_aS_aS_bS_cS_aS_bS_c<br />$

XXX OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni dana jest prosta $k$ oraz sześcian o wierzchołku $M$ i krawędziach $\overline{MA}$ , $\overline{MB}$ , $\overline{MC}$ , długości 1. Udowodnić, że długość rzutu prostokątnego krawędzi $MA$ na prostą $k$ jest równa polu rzutu prostokątnego kwadratu o bokach $MB$ i $MC$ na płaszczyznę prostopadłą do prostej $k$ .

XXX OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $a, b, c$ są liczbami nieujemnymi, to

$<br /> a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b).<br />$

XXX OM - II - Zadanie 1

Dane są punkty $A$ i $B$ na brzegu basenu o kształcie koła. Sportowiec ma dotrzeć z punktu $A$ do punktu $B$ idąc wzdłuż brzegu basenu lub płynąc w basenie; może przy tym wielokrotnie zmieniać sposób poruszania się. Jak powinien poruszać się sportowiec, aby dotrzeć z punktu $A$ do $B$ w najkrótszym czasie, o ile wiadomo, że porusza się on w wodzie dwa razy wolniej niż na lądzie?

XXX OM - I - Zadanie 12

Aby zakwalifikować się do kadry, zawodnik musi przejść z pozytywnym wynikiem przez co najmniej cztery spośród siedmiu testów. Jeśli będzie się przygotowywał do wszystkich testów, to prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w każdym z tych testów jest jednakowe i równe $\frac{1}{2}$ . Jeśli będzie się przygotowywał do pięciu testów, to odpowiednie prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym z tych pięciu testów będzie równe $\frac{3}{4}$ . Jeśli zaś będzie się przygotowywał do czterech testów, to prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym z tych czterech testów wyniesie $\frac{4}{5}$ . Który z trzech wymienionych sposobów przygotowywania się jest najkorzystniejszy dla zawodnika?

XXX OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba dodatnia $p$ oraz trzy różne półproste $OA^{\rightarrow}$ , $OB^{\rightarrow}$ , $OC^{\rightarrow}$ zawarte w płaszczyźnie. Udowodnić, że istnieje dokładnie jedna taka trójka punktów $K, L, M$ , że $K\in OA^{\rightarrow}$ , $L \in OB^{\rightarrow}$ , $M\in OC^{\rightarrow}$ i obwód każdego z trójkątów $OKL$ , $OLM$ , $OMK$ jest równy $2p$ .