1960-1969

XX OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , z których każde dwie są różne. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem

$ (1) \qquad y = |x-a_1| + |x-a_2| + \ldots + |x-a_n| $

XX OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c$ , spełniają warunek

$ (1) \qquad \frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} = 0, $

gdzie $m$ oznacza liczbę dodatnią, to równanie

$ (2) ax^2 + bx + c = 0 $

ma pierwiastek zawarty między 0 i 1.

XX OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że każdy wielościan ma co najmniej dwie ściany o tej samej liczbie boków.

XX OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli przy rzutowaniu równoległym jednej płaszczyzny na drugą płaszczyznę obrazem pewnego kwadratu jest kwadrat, to obrazem każdej figury jest figura do niej przystająca.

XX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych min zachodzi nierówność

$ (1) \qquad 1^m + 2^m + \ldots + n^m \geq n\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^m $

Dany jest czworokąt $ABCD$ wpisany w koło. Obrazami punktów $A$ i $C$ w symetrii względem prostej $BD$ są odpowiednio punkty $A'$ i $C'$ , a obrazami punktów $B$ i $D$ w symetrii względem prostej $AC$ są odpowiednio punkty $B'$ i $D'$ . Dowieść, że punkty $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ leżą na okręgu.

XX OM - II - Zadanie 2

Znaleźć wszystkie liczby czterocyfrowe, w których cyfra tysięcy jest równa cyfrze setek, a cyfra dziesiątek - cyfrze jedności i które są kwadratami liczb całkowitych.

XX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania

$ (1) \; a^2 + b^2 = 1,\quad (2) \; c^2 + d^2 = 1, \quad (3) \; ac + bd = -\frac{1}{2}, $

to

$ (4) \qquad a^2 + ac + c^2 = b^2 + bd + d^2. $

XX OM - I -Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli figura ma w przestrzeni $n$ osi symetrii, to liczba $n$ jest nieparzysta.

XX OM - I -Zadanie 11

W czworokącie wypukłym $ABCD$ suma odległości każdego wierzchołka od prostych $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ jest taka sama. Dowieść, że czworokąt ten jest równoległobokiem.

Olimpiady Matematyczne