1949-1959

I OM - B - Zadanie 19

Środki czterech jednakowych kulek leżą na okręgu koła, a środek ciężkości układu tych kulek leży w środku koła. Okazać, że środki kulek są wierzchołkami prostokąta.

I OM - B - Zadanie 18

Podać sposób wyznaczenia najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb naturalnych $1, 2, 3, \dots , n$ .

I OM - B - Zadanie 17

Dowieść, że jeżeli $a \neq b$ , to

$ a^3b + ab^3 < a^4 + b^4 $

I OM - B - Zadanie 16

Złożyć prostokąt z dziewięciu kwadratów o bokach 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 i 18.

Dane są dwa przecinające się okręgi o promieniach $r$ i $R$ . Przez jeden z punktów przecięcia tych okręgów poprowadzić taką
prostą, żeby ta prosta przecięła okręgi jeszcze w dwóch punktach $p$ i $Q$ i żebv odcinek $PQ$ miał daną długość $d$ .

I OM - B - Zadanie 14

Dowieść, że suma liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy jest podzielna przez 9, gdy suma wszystkich cyfr tych liczb jest podzielna przez 9.

I OM - B - Zadanie 13

Dowieść, że jeżeli prawdziwa jest równość

$ (a^2+ b^2+ c^2) \cdots (x^2+ y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2, $

to liczby $x, y, z$ są proporcjonalne do liczb $a, b, c$ .

I OM - B - Zadanie 12

Ile boków ma wielokąt, którego każdy kąt jest $k$ razy większy od kąta przyległego ? Jakie wartości może przybierać $k$ ?

I OM - B - Zadanie 11

Słup pionowy o wysokości $a$ , oświetlony promieniami
słonecznymi, rzucił na płaszczyznę; poziomą w pewnym momencie
cień, długości $a$ , w innym momencie cień miał długość $2 a$ , w trzecim
momencie długość cienia wynosila $3 a$ . Wykazać, że suma kątów
nachylenia promieni słonecznych do płaszczyzny poziomej w tych
trzech momentach jest równa kątowi prostemu.

I OM - B - Zadanie 10

Wykazać, że dla dowolnych liczb $a, b, c$ zachodzi nierówność

$ a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca $

Olimpiady Matematyczne