Liczby całkowite

LIX OM - II -Zadanie 1

Wyznaczyć największą możliwą długość ciągu kolejnych liczb całkowitych, z których każdą można przedstawić w
postaci $x^3 +2y^2$ dla pewnych liczb całkowitych $x, y$ .

Dana jest liczba całkowita $m \geqslant 2$ . Wyznaczyć najmniejszą taką liczbę całkowitą
$n \geqslant m$ , że dla każdego rozbicia zbioru $\{m,m+1,\dots ,n\}$ na dwa podzbiory, przynajmniej jeden z
tych podzbiorów zawiera takie liczby $a, b, c$ (niekoniecznie różne), że $ab = c$ .

LIX OM - I -Zadanie 10

Dana jest liczba pierwsza p. Ciąg liczb całkowitych dodatnich $a_1, a_2, a_3, \dots$ spełnia warunek

$ (1) \qquad a_{n+1} = a_n +p\left[ \sqrt[p]{a_n} \right]\quad \text{dla } n =1, 2,3,\dots. $

Wykazać, że pewien wyraz tego ciągu jest $p$ -tą potęgą liczby całkowitej.
(Uwaga: Symbol $[x]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $x$ .)

LIX OM - I -Zadanie 5

Znaleźć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $(p,q,r)$ , że liczby

$ pq + qr + rp \quad \text{oraz} \quad p^3+q^3+r^3-2pqr $

są podzielne przez $p+ q +r$ .

LIX OM - I -Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita $n \geqslant 1$ . Każdemu niepustemu podzbiorowi $A$ zbioru $\{1, 2,\dots ,n\}$
przyporządkowujemy liczbę $w(A)$ w następujący sposób: Jeżeli $a_1 >a_2 >\dots >a_k$ są wszystkimi elementami
zbioru A, to

$ (1)\qquad w(A)= a_1 -a_2 +a_3 -\dots +(-1)^{k+1} a_k. $

Obliczyć sumę wszystkich $2n-1$ otrzymanych liczb $w(A)$ .

LIX OM - I -Zadanie 3

Ciąg liczb całkowitych $a_1, a_2, a_3, \dots$ jest określony przez warunki: $a_1 = 1, a_2 = 2$ ,

$ (1)\qquad a_n =3a_n-1 +5a_{n-2} \quad\text{ dla }n =3,4,5,\dots . $

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita $k \geqslant 2$ , że liczba $a_k$ jest dzielnikiem
iloczynu $a_{k+1}a_{k+2}$ .

LX OM - III - Zadanie 2

Niech $S$ będzie zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych. Znaleźć
najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią $k$ , dla której istnieje 60–elementowy podzbiór zbioru $S$
o następującej własności: Dla dowolnych dwóch różnych elementów $A$ i $B$ tego podzbioru istnieje taki punkt
$C \in S$ , że pole trójkąta $ABC$ jest równe $k$ .

LX OM - II - Zadanie 2

Dane są takie liczby całkowite $a$ i $b$ , że $a>b> 1$ oraz liczba $ab +1$ jest podzielna przez $a+b$ ,
zaś liczba $ab-1$ jest podzielna przez $a-b$ .

Wykazać, że $a<b\sqrt{3}$ .

LX OM - I - Zadanie 12

Dana jest liczba pierwsza $p$ . Po lewej stronie tablicy napisano liczby $1, 2, 3, \cdots, p - 1$ ,
zaś po prawej stronie liczbę $0$ . Wykonujemy ciąg $p - 1$ ruchów, z których każdy przebiega
następująco: Wybieramy jedną z liczb napisanych po lewej stronie tablicy, dodajemy ją do wszystkich
pozostałych liczb na tablicy, po czym wymazujemy wybraną liczbę.

Rozstrzygnąć, dla jakich wartości
$p$ można w kolejnych ruchach wybierać liczby w taki sposób, by liczba pozostała na tablicy po
wykonaniu wszystkich ruchów była podzielna przez p.