Planimetria

XXX OM - II - Zadanie 1

Dane są punkty $A$ i $B$ na brzegu basenu o kształcie koła. Sportowiec ma dotrzeć z punktu $A$ do punktu $B$ idąc wzdłuż brzegu basenu lub płynąc w basenie; może przy tym wielokrotnie zmieniać sposób poruszania się. Jak powinien poruszać się sportowiec, aby dotrzeć z punktu $A$ do $B$ w najkrótszym czasie, o ile wiadomo, że porusza się on w wodzie dwa razy wolniej niż na lądzie?

XXX OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba dodatnia $p$ oraz trzy różne półproste $OA^{\rightarrow}$ , $OB^{\rightarrow}$ , $OC^{\rightarrow}$ zawarte w płaszczyźnie. Udowodnić, że istnieje dokładnie jedna taka trójka punktów $K, L, M$ , że $K\in OA^{\rightarrow}$ , $L \in OB^{\rightarrow}$ , $M\in OC^{\rightarrow}$ i obwód każdego z trójkątów $OKL$ , $OLM$ , $OMK$ jest równy $2p$ .

XXX OM - I - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie środek koła wpisanego, punkt przecięcia wysokości i środek koła opisanego leżą na jednej prostej, to trójkąt jest równoramienny.

XXX OM - I - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $n$ punktów ( $n > 4$ ), z których żadne trzy nie są współliniowe. Udowodnić, że istnieje co najmniej $\binom{n-3}{2}$ czworokątów wypukłych, których wierzchołkami są pewne z danych punktów.

XXXI - III - Zadanie 1

Obliczyć pole ośmiokąta wpisanego w okrąg wiedząc, że każdy z czterech kolejnych boków tego ośmiokąta ma długość 1, a każdy z czterech pozostałych ma długość 2.

XXXI - II - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli punkt $P$ przebiega okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ , to wartość wyrażenia $a \cdot PA^2 + b \cdot PB^2 + c \cdot PC^2$ jest stała ( $a, b, c$ są odpowiednio długościami boków leżących naprzeciw wierzchołków $A, B, C$ ).

XXXI - II - Zadanie 1

Uczniowie $A$ i $B$ grają według następujących reguł: uczeń $A$ obiera na płaszczyźnie wektor $\overrightarrow{a_1}$ o długości 1, następnie uczeń $B$ podaje liczbę $s_1$ , równą $1$ lub $-1$ ; potem uczeń $A$ obiera wektor $\overrightarrow{a_1}$ o długości $1$ , a z kolei uczeń $B$ podaje liczbę $s_2$ równą $1$ lub $-1$ itd. Wygrywa $B$ , jeśli dla pewnego $n$ wektor $\sum_{j=1}^n \varepsilon_j \overrightarrow{a_j}$ ma długość większą od ustalonej przed rozpoczęciem gry liczby $R$ . Udowodnić, że uczeń $B$ może doprowadzić do wygranej w nie więcej niż $R^2 + 1$ krokach niezależnie od postępowania partnera $A$ .

XXXI - I - Zadanie 12

Niech $D$ będzie obszarem na płaszczyźnie ograniczonym półprostą $\{(x,y) : x \geq 0, y = 0\}$ i parabolą o równaniu $y = x^2$ tzn. $D = \{(x,y) : x > 0, 0 < y < x^2\}$ . W obszarze $D$ porusza się bez tarcia kula bilardowa (traktujemy ją jako punkt materialny) odbijając się od brzegu obszaru $D$ zgodnie z regułą „kąt padania równa się kątowi odbicia". Udowodnić, że kula odbije się od brzegu obszaru D tylko skończoną liczbę razy.

Uwaga. Kula odbija się od paraboli w taki sposób, w jaki odbija się od stycznej do paraboli w tym punkcie.

XXXI - I - Zadanie 3

W okrąg $k$ wpisany jest trójkąt $ABC$ . Na okręgu $k$ wybrano takie punkty $A', B', C'$ , że proste $AA', BB', CC'$ zawierają środkowe trójkąta $ABC$ . Wykazać, że pole trójkąta $A'B'C'$ jest nie mniejsze od pola trójkąta $ABC$ .

XXXII - III - Zadanie 2

Symetralne boków $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trójkąta $ABC$ przecinają prostą zawierającą bok $\overline{BC}$ w punktach $X$ i $Y$ . Dowieść, że $BC = XY$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\tan B \cdot \tan C= 3$ lub $\tan B\cdot \tan C=-1$ .