Olimpiada Matematyczna

XI OM - III - Zadanie 2

Przez wysokość czworościanu foremnego poprowadzono płaszczyznę, która przecina płaszczyzny ścian bocznych wzdłuż $3$ prostych tworzących z płaszczyzną podstawy czworościanu kąty $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Dowieść, że

$ (1) \qquad \tg^2 \alpha + \tg^2 \beta + \tg^2 \gamma =12. $

XI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą większą od $4$ , to $2^n$ jest większe, od $n^2$ .

XI OM - II - Zadanie 6

Obliczyć objętość czworościanu $ABCD$ mając dane krawędzie $AB = b$ , $AC = c$ , $AD = d$ oraz kąty $\measuredangle CAD = \beta$ , $\measuredangle DAB = \gamma$ i $\measuredangle BAC = \delta$ .

XI OM - II - Zadanie 5

Dane są na prostej trzy różne punkty $A$ , $B$ , $C$ i punkt $S$ poza tą prostą; prostopadle poprowadzone w punktach $A$ , $B$ , $C$ do prostych $SA$ , $SB$ , $SC$ przecinają się w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że punkty $M$ , $N$ , $P$ , $S$ leżą na okręgu.

XI OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

$ 2^{n+2} + 3^{2n+1} $

jest podzielna przez $7$ .

XI OM - II - Zadanie 3

Dane są dwa okręgi o wspólnym środku $O$ i punkt $A$ . Zbudować okrąg o środku $A$ przecinający okręgi dane w takich punktach $M$ i $N$ , żeby prosta $MN$ przechodziła przez punkt $O$ .

XI OM - II - Zadanie 2

Dane są równania

$ \begin{array}{c} x^2 + p_1x + q_1 = 0\\ x^2 + p_2x + q_2 = 0\\ x^2 + p_3x + q_3 = 0, \end{array} $

z których każde dwa mają wspólny pierwiastek, ale wszystkie trzy nie mają wspólnego pierwiastka. Dowieść, że

$ (1^\circ) \qquad 2 (p_1p_2 + p_2p_3 + p_3p_1) - (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) = 4 (q_1 + q_2+ q_3) $

$ (2^\circ) \qquad \textrm{pierwiastki tych równań są wymierne, gdy liczby $p_1$, $p_2$ i $p_3$ są wymierne}. $

XI OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby rzeczywiste $a$ i $b$ nie są obie równe zeru, to dla każdego naturalnego $n$

$ (1) \qquad a^{2n} + a^{2n-1}b + a^{2n-2} b^2 + \ldots + ab^{2n-1} + b^{2n} > 0. $

XI OM - I - Zadanie 12

Niech dla czworościanu $ABCD$ litery $S_A$ , $S_B$ , $S_C$ , $S_D$ oznaczają pola ścian czworościanu przeciwległych odpowiednio do wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ kąty dwuścienne czworościanu przy krawędziach $AD$ , $BD$ i $CD$ . Udowodnić, że

$ S^2_D = S^2_A + S^2_B + S^2_C - 2S_A S_B \cos \gamma - 2S_BS_C \cos \alpha - 2S_AS_C \cos \beta. $

XI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli czworokąt jest opisany na kole, to można na nim opisać koło wtedy i tylko wtedy gdy cięciwy łączące punkty styczności przeciwległych boków czworokąta z kołem są prostopadłe.

Olimpiady Matematyczne