1990-1999

L OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby całkowite nieujemne $ a_1 <a_2 <a_3 < \ldots < a_{101} $ mniejsze od $ 5050 $. Dowieść, że spośród nich można wybrać takie cztery różne $ a_k $, $ a_l $, $ a_m $, $ a_n $, że liczba $ a_k + a_l -a_m -a_n $ jest podzielna przez $ 5050 $.

L OM - III - Zadanie 1

Punkt $ D $ leży na boku $ BC $ trójkata $ ABC $, przy czym $ AD > BC $. Punkt $ E $ leży na boku $ AC $ i spełnia warunek

\[<br /> \frac{AE}{EC}= \frac{BD}{AD - BC}.<br /> \]

Udowodnić, że $ AD > BE $.

L OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $ k \geq 2 $ oraz liczby całkowite $ a_1, a_2,\ldots, a_n $ spełniające warunki

\[<br /> a_1 + 2^i a_2 + 3^i a_3 + \ldots + n^i a_n = 0\ \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, k-1.<br /> \]

Dowieść, że liczba $ a_1 + 2^k a_2 + 3^k a_3 + \ldots + n^k a_n $ jest podzielna przez $ k! $.

L OM - II - Zadanie 5

Niech $ S = \{1, 2,3,4, 5\} $. Wyznaczyć liczbę funkcji $ f: S \to S $ spełniających równość $ f^{50} (x) = x $ dla wszystkich $ x \in S $.

Uwaga: $ f^{50}(x) = \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{50} (x) $.

L OM - II - Zadanie 4

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $ i spełnia warunki: $ \measuredangle PAB = \measuredangle PCA $ oraz $ \measuredangle PAC = \measuredangle PBA $. Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $. Dowieść, że jeżeli $ O \ne P $, to kąt $ APO $ jest prosty.

L OM - II - Zadanie 3

Czworokąt wypukły $ ABCD $ jest wpisany w okrąg. Punkty $ E $ i $ F $ leżą odpowiednio na bokach $ AB $ i $ CD $, przy czym $ AE: EB = CF: FD $. Punkt $ P $ leży na odcinku $ EF $ i spełnia warunek $ EP: PF = AB: CD $. Udowodnić, że stosunek pól trójkątów $ APD $ i $ BPC $ nie zależy od wyboru punktów $ E $ i $ F $.

L OM - II - Zadanie 2

Sześcian $ S $ o krawędzi $ 2 $ jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. Klockiem nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu $ S $ jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian $ T $ o krawędzi $ 2^n $ jest zbudowany z $ (2^n)^3 $ sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu $ T $ dowolnego spośród $ (2^n)^3 $ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.

L OM - II - Zadanie 1

Dana jest funkcja $ f: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R} $ taka, że $ f(\frac{1}{n}) = (-1)^n $ dla $ n = 1, 2,\ldots $. Wykazać, że nie istnieją takie funkcje rosnące $ g: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R} $, $ h: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R} $, że $ f = g - h $.

L OM - I - Zadanie 12

Wszystkie wierzchołki sześcianu o krawędzi $ a $ leżą na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi 1. Wyznaczyć możliwe wartości $ a $.

L OM - I - Zadanie 11

W urnie znajdują się dwie kule: biała i czarna. Ponadto mamy do dyspozycji $ 50 $ kul białych i $ 50 $ czarnych. Wykonujemy $ 50 $ razy następującą czynność: losujemy z urny kulę, a następnie wrzucamy ją z powrotem do urny oraz dokładamy jedną kulę tego samego koloru, co wylosowana kula. Po zakończeniu tych czynności mamy więc w urnie $ 52 $ kule. Jaka liczba kul białych znajdujących się w urnie jest najbardziej prawdopodobna?

Subskrybuje zawartość