1980-1989

XL OM - I - Zadanie 10

Liczby dodatnie $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ spełniają nierówności

$ \alpha+\beta+\gamma < \pi, \alpha < \beta + \gamma, \beta < \gamma + \alpha, \gamma < \alpha + \beta. $

Udowodnić, że z odcinków o długościach $\sin \alpha$ , $\sin \beta$ , $\sin \gamma$ można zbudować trójkąt i że pole tego trójkąta jest nie większe od

$ \frac{1}{8} (\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma). $

XL OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $x$ , $y$ , $z$ spełniające równanie

$ 1 = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2} $

Dana jest liczba naturalna $n$ oraz skończony ciąg liczb rzeczywistych $A^{(1)}= (a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, \ldots, a_n^{(1)})$ . Dla każdej liczby naturalnej $m$ wybieramy dwie liczby naturalne $i$ , $j$ spełniające warunek $1 \leq i < j \leq n$ i określamy ciąg $A^{(m+1)}= (a_1^{(m+1)}, a_2^{(m+1)}, \ldots, a_n^{(m+1)})$ , jak następuje:

$ \begin{split} a_i^{(m+1)} &= a_j^{(m+1)} = \frac{1}{2}(a_i^{(m)} + a_j^{(m)}),\\ a_k^{(m+1)} = a_k^{(m)} \quad\text{dla}\quad k\neq i, j. \end{split} $

Udowodnić, że jeżeli każda para liczb naturalnych $(i,j)$ należących do przedziału $\langle 1;n\rangle$ będzie wybrana nieskończenie wiele razy, to

$ \lim_{n\to \infty} a_k^{(m)} = \frac{1}{n}(a_1^{(1)} + \ldots + a_n^{(1)}) $

dla $k = 1,2,\ldots, n$ .

XL OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni dany jest skończony zbiór punktów, z których każde cztery są wierzchołkami czworościanu o objętości mniejszej lub równej 1. Udowodnić, że istnieje czworościan o objętości nie większej niż 27, zawierający wszystkie te punkty.

XL OM - I - Zadanie 6

Obliczyć sumę szeregu $\sum_{n\in A}\frac{1}{2^n}$ , w którym sumowanie przebiega zbiór $A$ wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez 2, 3, 5.

XL OM - I - Zadanie 5

Dla danej liczby naturalnej $n$ wyznaczyć liczbę ciągów $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ , których wyrazy $a_i$ należą do zbioru $\{0,1,2,3,4\}$ oraz spełniają warunek $|a_i - a_{i+i}| = 1$ dla $i = 1,2,\ldots,n-1$ .

XL OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że nie można tak pociąć kwadratu wzdłuż skończonej liczby odcinków i łuków okręgów, by z otrzymanych części można było złożyć koło (części można odwracać).

XL OM - I - Zadanie 3

Trójkąty $ABC$ i $ABC'$ mają równo obwody, a dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach $C$ i $C'$ przecinają się w punkcie $O$ . Dowieść, że kąty $AOC$ i $BOC'$ są równe.