1970-1979

XXX OM - I - Zadanie 10

Dane są ciągi wielomianów $(P_n)$ , $(Q_n)$ określone, jak następuje:

$ \begin{split} P_0 = Q_0 &= 1, \\ P_n(x) &= P_{n-1}(x) + x^{2^{n-1}}\cdot Q_{n-1}(x),\\ Q_n(x) &= P_{n-1}(x) - x^{2^{n-1}} \cdot Q_{n-1}(x). \end{split} $

Niech $a_n$ będzie liczbą współczynników wielomianu $P_n$ równych 1. Udowodnić, że istnieje granica $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{2^n}$ i obliczyć ją.

XXX OM - I - Zadanie 9

Niech $r_k(n)$ będzie resztą z dzielenia liczby naturalnej $n$ przez liczbę naturalną $k$ oraz

$ R(n) = r_1(n) + r_2(n) + \ldots + r_n(n). $

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $m$ zachodzi równość $R(2^m-1) = R(2^m)$ .

Spośród stożków wpisanych w kulę $B$ wybrano taki stożek $S_1$ że kula $K_1$ wpisana w stożek $S_1$ ma maksymalną objętość. Następnie w kulę $B$ wpisano stożek $S_2$ o maksymalnej objętości, a w stożek $S_2$ wpisano kulę $K_2$ . Rozstrzygnąć, co jest większe: suma objętości $S_1$ i $K_1$ , czy suma objętości $S_2$ i $K_2$ .

XXX OM - I - Zadanie 7

Dla danego, naturalnego $n$ obliczyć liczbę liczb całkowitych $x$ z przedziału $[1, n]$ , dla których $x^3 - x$ jest podzielne przez $n$ .

XXX OM - I - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie środek koła wpisanego, punkt przecięcia wysokości i środek koła opisanego leżą na jednej prostej, to trójkąt jest równoramienny.

XXX OM - I - Zadanie 5

Znaleźć taką liczbą rzeczywistą $m$ , dla której iloczyn pewnych dwóch pierwiastków rzeczywistych równania

$ 2x^4 - 7x^3 + mx^2 + 22x - 8 = 0 $

wynosi 2.

XXX OM - I - Zadanie 4

W wielościanie wypukłym $Q$ umieszczono wielościan wypukły $P$ , w którym obrano punkt wewnętrzny $O$ . Dla każdego punktu $X$ leżącego na ścianie wielościanu $Q$ oznaczono przez $P_X$ punkt przecięcia odcinka $\overline{OX}$ ze ścianą wielościanu $P$ . Dowieść, że istnieje taki wierzchołek $Y$ wielościanu $Q$ , że