1960-1969

XX OM - I -Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli $ a_1, a_2, b_1, b_2 $ są liczbami wymiernymi spełniającymi warunki

\[<br /> (1) a_1 \neq a_2, \; b_1 \neq b_2, \; (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + 4(a_1-a_2)(b_1-b_2) = 0.<br /> \]

to liczby

\[<br /> 1-a_1b_1, \quad 1-a_2b_2<br /> \]

są kwadratami liczb wymiernych.

XX OM - I -Zadanie 9

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej i dodatniej $ n $

\[<br /> (1) \qquad \frac{1}{3}n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}}<br /> \]

XX OM - I -Zadanie 7

Kwadrat $ ABCD $ obrócono dokoła jego środka $ S $ o kąt ostry $ \alpha $, a następnie kwadrat obrócony przesunięto do położenia $ EFGH $ o wektor długości boku kwadratu prostopadły do płaszczyzny kwadratu. Obliczyć objętość bryły ograniczonej kwadratami $ ABCD $ i $ EFGH $ oraz trójkątami $ ABE $, $ BCF $, $ CDG $, $ DAH $, $ EFB $, $ FGC $, $ GHD $, $ HEA $.

XX OM - I -Zadanie 6

Rozwiązać równanie

\[<br /> (1) \qquad \left[ \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\right] - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}<br /> \]

Uwaga: Symbol $ [a] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ a $.

XX OM - I -Zadanie 5

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a $ i $ b $ i naturalnego $ n $

\[<br /> \frac{a^n + b^n}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2}\right)^n.<br /> \]

XX OM - I -Zadanie 4

Dane są punkty $ A, B, C, D $ nie lezące na jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe.

XX OM - I -Zadanie 3

Dowieść, że żadna figura nie może mieć dokładnie dwóch środków symetrii.

Subskrybuje zawartość