1949-1959

I OM - B - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli suma trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3, to suma sześcianów tych liczb jest
także podzielna przez 3.

I OM - B - Zadanie 8

Dowieść, że wysokości trójkąta ostrokątnego są dwusiecznymi kątów trójkąta, którego wierzchołkami są spodki tych wysokości.

I OM - B - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dane są dwie przecinające się proste
$ a $ i $ b $ i nie leżący na nich punkt $ P $. Poprowadzić przez punkt $ P $
prostą przecinającą proste $ a $ i $ b $ w tahich punktach $ A $ i $ B $, że

\[<br /> PA = 2\cdot PB<br /> \]

I OM - B - Zadanie 6

Dowieść, że liczba, która w dziesiątkowym układzie
pozycyjnym wyraża się za pomocą 91 jedynek, jest liczbą złożoną.

I OM - B - Zadanie 5

Motorówka wyruszyła o godzinie 9 w górę rzeki i w tym
samym momencie wrzucono z motorówki do rzeki piłkę. O godzinie 9
minut 15 motorówka zawróciła i popłynęła w dół rzeki. O której
godzinie motorówka dogoni piłkę?

I OM - B - Zadanie 4

Znaleźć dwie liczby naturalne $ a $ i $ b $ mając ich największy wspólny podzielnik
$ D=12 $ oraz najmniejszą wspólną wielokrotność $ M=432 $. Podać sposób poszukiwania
rozwiązań w przypadku ogólnym.

I OM - B - Zadanie 3

Ktoś ma wagę dwuramienną nierzetelną (tzn. wagę,
której ramiona są nierówne). Chcąc odważyć 2 kg cukru postępuje
w sposób następujący: kładzie ciężarek 1 kg na lewej szalce wagi,
a na prawą szalkę sypie cukier aż do zrównoważenia; następnie:
opróżniwszy obie szalki kładzie ciężarek 1 kg na prawej szalce, a na
lewą sypie cukier aż do zrównoważenia. Czy odważone w ten sposób dwie
ilości cukru stanowią razem mniej, czy więcej, czy też dokładnie
2 kg?

I OM - B - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli liczba $ a $ jest sumą kwadratów dwóch różnych liczb
naturalnych, to $ a^2 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych.

I OM - B - Zadanie 1

Wyznaczyć współczynniki $ a $ i $ b $, równania $ x^2 + ax +b=0 $ tak, aby same wartości $ a $ i $ b $ były pierwiastkami tego równania.

I OM

MINISTERSTWO OŚWIATY

PIERWSZA OLIMPIADA MATEMATYCZNA

SPRAWOZDANIE KOMITETU GŁÓWNEGO

pzws.jpg

WARSZAWA 1951

PAŃSTWOWE ZAKŁADY WYDAWNICTW SZKOLNYCH

ZałącznikWielkość
Pierwsza Olimpiada Matematyczna - Sprawozdanie Komitetu Głównego6.83 MB
Iom1.pdf381.71 KB
Iom2.pdf788.49 KB
Iom3.pdf682.99 KB
Subskrybuje zawartość