Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

XI OM - I - Zadanie 3

Każdy bok trójkąta o danym polu $ S $ podzielono na trzy równe części i połączono odcinkami punkty podziału co drugi tworząc dwa trójkąty. Obliczyć pole sześciokąta będącego wspólną częścią tych trójkątów.

XI OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli suma $ a + b $ dwóch liczb całkowitych jest podzielna przez liczbę nieparzystą $ n $, to $ a^n + b^n $ jest podzielne przez $ n^2 $.

Czy to twierdzenie zachodzi dla parzystego $ n $?

XII OM - III - Zadanie 6

Ktoś napisał sześć listów do sześciu osób i zaadresował do nich sześć kopert. Iloma sposobami można listy tak włożyć do kopert, żeby żaden list nie trafił do właściwej koperty?

XII OM - III - Zadanie 5

Cztery proste przecinające się w sześciu punktach tworzą cztery trójkąty. Dowieść, że okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny.

XII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli każdy bok trójkąta jest mniejszy niż $ 1 $, to jego pole jest mniejsze niż $ \frac{\sqrt{3}}{4} $.

XII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli przekrój czworościanu płaszczyzną jest równoległobokiem, to połowa jego obwodu zawiera się między długością najmniejszej a długością największej krawędzi tego czworościanu.

XII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że każda liczba naturalna, która nie jest całkowitą potęgą liczby $ 2 $, jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

XII OM - II - Zadanie 6

W płaszczyźnie trójkąta ostrokątnego $ ABC $ przesuwa się taśma o szerokości $ d < AB $ i brzegach prostopadłych do $ AB $. Przy jakim położeniu taśmy zakryje ona największą część trójkąta?

Subskrybuje zawartość