Planimetria

XXXII - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są dwa zbiory rozłączne $ A $ i $ B $, z których każdy składa się z $ n $ punktów, przy czym żadne trzy punkty zbioru $ A \cup B $ nie leżą na jednej prostej. Udowodnić, że istnieje zbiór $ n $ rozłącznych odcinków domkniętych, z których każdy ma jeden koniec w zbiorze $ A $, drugi zaś w zbiorze $ B $.

XXXII - II - Zadanie 2

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $ P $. Prosta styczna do jednego z okręgów w punkcie $ A $ przecina drugi okrąg w punktach $ B $ i $ C $. Udowodnić, że prosta $ PA $ jest dwusieczną kąta $ BPC $.

XXXII - I - Zadanie 11

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których prawdziwe jest twierdzenie: Jeśli w wielokącie wypukłym o $ 2n $ bokach wpisanym w koło jest $ n-1 $ par boków równoległych, to pozostałe dwa boki też są równoległe.

XXXII - I - Zadanie 5

Wykazać, że jeśli $ O $ jesl środkiem, $ P $ - dowolnym punktem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny $ A_lA_2A_3 $ różnym od punktu styczności, to

\[<br /> \sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{A_iP}} =0.<br /> \]

XXXII - I - Zadanie 4

Na bokach trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano kwadraty $ ABED $, $ BCGF $, $ ACHI $ leżące na zewnątrz trójkąta. Udowodnić, że środkowe trójkąta utworzonego przez proste $ EF $, $ GH $, $ DI $ są prostopadłe do boków trójkąta $ ABC $.

XXXIII OM - III - Zadanie 2

W czworokącie $ ABCD $ wpisanym w koło prosta przechodząca przez środek boku $ \overline{AB} $ i punkt przecięcia przekątnych jest prostopadła do boku $ \overline{CD} $. Udowodnić, że boki $ \overline{AB} $ i $ \overline{CD} $ są równoległe lub przekątne czworokąta są prostopadłe.

XXXIII OM - II - Zadanie 2

Płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego innego koła. Dowieść, że każdy punkt płaszczyzny należy do co najwyżej pięciu kół.

XXXIII OM - I - Zadanie 10

W trójkącie $ ABC $ punkty $ A', B', C' $ są odpowiednio środkami boków $ \overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB} $, $ H $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta. Okrąg o środku $ H $ przecina prosta $ B'C', C'A', A'B' $ odpowiednio w punktach $ D_1 $ i $ D_2 $, $ E_1 $ i $ E_2 $, $ F_1 $ i $ F_2 $. Udowodnić, że długości odcinków $ \overline{AD_1}, \overline{AD_2}, \overline{BE_1}, \overline{BE_2}, \overline{CF_1}, \overline{CF_2} $ są równe.

XXXIII OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że w dowolnym pięciokącie wypukłym, którego wszystkie boki mają długość a można umieścić trójkąt równoboczny o bokach długości $ a $.

XXXIII OM - I - Zadanie 1

Dwudziestopięciokąt foremny $ A_1,A_2, \ldots, A_{25} $ wpisany jest w okrąg o środku $ O $ i promieniu długości $ r $. Jaka jest maksymalna długość wektora będącego sumą pewnych spośród wektorów $ \overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \ldots, \overrightarrow{OA_{25}} $?

Subskrybuje zawartość