Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XI OM - I - Zadanie 10

Znaleźć wzór wyrażający iloczyn

\[<br /> \left( 1 - \frac{4}{1} \right)<br /> \left( 1 - \frac{4}{9} \right)<br /> \left( 1 - \frac{4}{25} \right)<br /> \ldots<br /> \left( 1 - \frac{4}{(2n-1)^2} \right)<br /> \]

w zależności od $ n $.

XI OM - I - Zadanie 9

a) Znaleźć warunek konieczny i dostateczny do tego, aby równania kwadratowe

\[<br /> x^2 + p_1x + q_1 = 0<br /> \]
\[<br /> x^2 + p_2x + q_2 = 0<br /> \]

miały wspólny pierwiastek.

b) Dowieść, że jeżeli te równania mają wspólny pierwiastek, ale nie są identyczne, a liczby $ p_1 $, $ q_1 $, $ p_2 $, $ q_2 $ są wymierne, to pierwiastki danych równań są wymierne.

XI OM - I - Zadanie 8

Na płaszczyźnie dane są trzy półproste $ OX $, $ OY $, $ OZ $, dzielące płaszczyznę na trzy kąty wypukłe oraz punkty $ A $, $ B $, $ C $ leżące odpowiednio wewnątrz kątów $ YOZ $, $ ZOX $, $ XOY $. Zbudować trójkąt, którego wierzchołki leżą na $ OX $, $ OY $, $ OZ $, a boki przechodzą przez $ A $, $ B $, $ C $.

XI OM - I - Zadanie 7

W dany okrąg wpisano trójkąt $ ABC $. Na bokach $ AC $ i $ BC $ odmierzono odcinki $ AM $ i $ BN $ o danej długości $ d $. Znaleźć miejsce geometryczne środka $ S $ odcinka $ MN $, gdy punkty $ A $ i $ B $ są nieruchome, a punkt $ C $ porusza się po danym kręgu.

XI OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $, z których żadna nie jest zerem spełniają zależność

\[<br /> (1) \qquad a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 = abc (a^3 + b^3 + c^3)<br /> \]

to można je ustawić w takim porządku, że utworzą postęp geometryczny.

XI OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wszystkie liczby całkowite $ x $ i $ y $ spełniające równanie

\[<br /> (1) \qquad (x + 2)^4 - x^4 = y^3.<br /> \]

XI OM - I - Zadanie 4

Dane są trzy kolejne odcinki na prostej. Znaleźć punkt, z którego te odcinki są widoczne pod równymi kątami.

XI OM - I - Zadanie 3

Każdy bok trójkąta o danym polu $ S $ podzielono na trzy równe części i połączono odcinkami punkty podziału co drugi tworząc dwa trójkąty. Obliczyć pole sześciokąta będącego wspólną częścią tych trójkątów.

XI OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli suma $ a + b $ dwóch liczb całkowitych jest podzielna przez liczbę nieparzystą $ n $, to $ a^n + b^n $ jest podzielne przez $ n^2 $.

Czy to twierdzenie zachodzi dla parzystego $ n $?

Subskrybuje zawartość