2000-2009

LVIII OM - I - Zadanie 5

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $, w którym $ \angle ACB=45^\circ $. Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, punkt $ H $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $. Prosta przechodząca przez punkt $ O $ i prostopadła do prostej $ CO $ przecina proste $ AC $ i $ BC $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Wykazać, że

\[<br /> OK+KH=OL+LH\,.<br /> \]

LVIII OM - I - Zadanie 4

Dla każdej liczby naturalnej $ n\ge 3 $ wyznaczyć liczbę ciągów $ (c_1,c_2,\ldots,c_n) $, gdzie $ {c_i\in\{0,1,\ldots,9\}} $, o następującej własności:\break w każdej trójce kolejnych wyrazów są co najmniej dwa wyrazy równe.

LVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ ABCD $, nie będącym równoległobokiem, zachodzi równość $ AB=CD $. Punkty $ M $ i $ N $ są odpowiednio środkami przekątnych $ AC $ i $ BD $. Dowieść, że rzuty prostokątne odcinków $ AB $ i $ CD $ na prostą $ MN $ są odcinkami o jednakowej długości, równej długości odcinka $ MN $.

LVIII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $ k $, $ m $, dla których każda z liczb $ {k^2+4m} $, $ {m^2+5k} $ jest kwadratem liczby całkowitej.

LVIII OM - I - Zadanie 1

Zadanie 1.

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $ x $, $ y $, $ z $ układ równań

\[<br /> \begin{cases}<br /> x^2+2yz+5x=2 \\<br /> y^2+2zx+5y=2 \\<br /> z^2+2xy+5z=2 \\<br /> \end{cases}<br /> \]

LIX OM - III -Zadanie 6

Niech $ S $ będzie zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które można przedstawić w postaci $ a^2 +5b^2 $
dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych $ a $ i $ b $. Niech ponadto $ p $ będzie liczbą pierwszą dającą resztę
3 z dzielenia przez 4. Wykazać, że jeżeli pewna dodatnia wielokrotność liczby $ p $ należy do zbioru $ S $, to również liczba
$ 2p $ należy do zbioru $ S $.

LIX OM - III -Zadanie 5

Pola wszystkich przekrojów równoległościanu $ \mathcal{R} $ płaszczyznami przechodzącymi przez środki trzech jego krawędzi,
z których żadne dwie nie są równoległe i nie mają punktów wspólnych, są równe. Udowodnić, że równoległościan
$ \mathcal{R} $ jest prostopadłościanem.

LIX OM - III -Zadanie 3

W pięciokącie wypukłym $ ABCDE $, w którym $ BC = DE $, zachodzą równości

\[<br /> \measuredangle ABE = \measuredangle CAB = \measuredangle AED - 90^{\circ} \text{ oraz }\measuredangle ACB = \measuredangle ADE.<br /> \]

Dowieść, że czworokąt $ BCDE $ jest równoległobokiem.

LIX OM - III -Zadanie 2

Funkcja $ f(x, y, z) $ trzech zmiennych rzeczywistych spełnia dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b, c, d, e $zależność

\[<br /> f (a, b, c)+f (b, c, d)+f (c, d, e)+f (d, e, a)+f (e, a, b)= a +b + c +d +e.<br /> \]

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \dots, x_n $ ($ n \geqslant 5 $) prawdziwa jest równość

\[<br /> f(x_1 ,x_2 ,x_3 )+f(x_2 ,x_3 ,x_4 )+\dots +f(x_n ,x_1 ,x_2 )= x_1 +x_2 + \dots +x_n .<br /> \]
Subskrybuje zawartość