1990-1999

L OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 2 $. Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n $ mające dokładnie $ n $ pierwiastków nie większych niż $ -1 $ oraz spełniające warunek

\[<br /> a_0^2 + a_1a_n = a_n^2 + a_0a_{n-1} .<br /> \]

Uwaga: Pierwiastki są liczone z uwzględnieniem krotności: jeśli liczba $ x_0 $ jest pierwiastkiem $ k $-krotnym wielomianu $ P(x) $ (tzn. jeśli wielomian $ P(x) $ jest podzielny przez wielomian $ (x - x_0)^k $, ale nie przez $ (x - x_0)^{k+1} $), wówczas liczba $ x_0 $ jest traktowana jak $ k $ pierwiastków wielomianu $ P(x) $.

L OM - I - Zadanie 6

Przekątne $ AC $ i $ BD $ czworokąta wypukłego $ ABCD $ przecinają się w punkcie $ P $. Punkt $ M $ jest środkiem boku $ AB $. Prosta $ MP $ przecina bok $ CD $ w punkcie $ Q $. Dowieść, że stosunek pól trójkątów $ BCP $ i $ ADP $ jest równy stosunkowi długości odcinków $ CQ $ i $ DQ $.

L OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $ x $, $ y $ spełniające równanie $ y^x = x^{50} $.

L OM - I - Zadanie 4

Dane są takie liczby rzeczywiste $ x $, $ y $, że liczby $ x + y $, $ x^2 + y^2 $, $ x^3 + y^3 $ i $ x^4 + y^4 $ są całkowite. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $ n $ liczba $ x^n + y^n $ jest liczbą całkowitą.

L OM - I - Zadanie 3

W trójkącie równoramiennym $ ABC $ kąt $ BAC $ jest prosty. Punkt $ D $ leży na boku $ BC $, przy czym $ BD = 2\cdot CD $. Punkt $ E $ jest rzutem prostokątnym punktu $ B $ na prostą $ AD $. Wyznaczyć miarę kąta $ CED $.

L OM - I - Zadanie 2

Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ zachodzi nierówność

\[<br /> (a + b + c + d)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 6ab .<br /> \]

L OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że wśród liczb postaci $ 50^n + (50n + 1)^{50} $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

Subskrybuje zawartość