Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

XII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ spełniają nierówności

$(1) \qquad a + b + c> 0,$

$(2) \qquad ab + bc + ca > 0,$

$(3) \qquad abc > 0,$

to $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ .

XII OM - II - Zadanie 4

Znaleźć cztery ostatnie cyfry liczby $5^{5555}$ .

XII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnych kątów $x$ , $y$ , $z$ zachodzi równość

$ (1) \qquad \begin{split} &1 - \cos^2 x - \cos^2 y - \cos^2 z + 2 \cos x \cos y \cos z=\\ &\qquad =4 \sin \frac{x+y+z}{2} \sin \frac{x+y-z}{2} \sin \frac{x-y+z}{2} \sin\frac{-x-y+z}{2}. \end{split} $

XII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że wszystkie wysokości czworościanu przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy kwadratów krawędzi przeciwległych są równe.

XII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że żadna liczba postaci $2^n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, nie jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

XII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że jeżeli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami przystającymi, to te trójkąty są ostrokątne.

XII OM - I - Zadanie 11

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$ ( $AB = AC$ ). Zbudować taki trójkąt równoramienny $A_1B_1C_1$ ( $A_1B_1 = A_1C_1$ ), żeby trójkąty $AB_1C_1$ , $A_1BC_1$ i $A_1B_1C$ były: a) położone na zewnątrz trójkąta $A_1B_1C_1$ , b) równoramienne o podstawach $B_1C_1$ $C_1A_1$ i $A_1B_1$ c) podobne do trójkąta $A_1B_1C_1$ .

XII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli równanie

$ (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $

ma trzy pierwiastki rzeczywiste, to

$ (2) \qquad b^2 \geq ac \quad \textrm{i} \quad c^2 \geq bd. $

Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?

XII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą naturalną, to liczba

$ 2^{4^n} + 5 $

jest podzielna przez $21$ .

XII OM - I - Zadanie 8

W okrąg wpisano dwa trójkąty foremne. Wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ jednego trójkąta następują po sobie na okręgu w tym samym kierunku, co wierzchołki $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ drugiego trójkąta. Proste $AB$ i $A_1B_1$ przecinają się w punkcie $P$ , proste $BC$ i $B_1C_1$ w punkcie $M$ , a proste $CA$ i $C_1A_1$ w punkcie $N$ . Dowieść, że punkty $M$ , $N$ , $P$ są wierzchołkami trójkąta foremnego.