Planimetria

XXXIV OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są wektory $ \overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3} $ o długości 1. Dowieść, że można tak wybrać liczby $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 $ równe 1 lub 2, że długość wektora $ \varepsilon_1\overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2\overrightarrow{a_2} + \varepsilon_3\overrightarrow{a_3} $ jest nie mniejsza od 2.

XXXIV OM - III - Zadanie 1

Na płaszczyźnie dany jest $ n $-kąt wypukły $ P_1, \ldots, P_n $ oraz punkt $ Q $ w jego wnętrzu nie należący do żadnej przekątnej. Dowieść, że jeśli $ n $ jest liczbą parzystą, to liczba trójkątów $ P_iP_jP_k $ ($ i,j,k= 1,2,\ldots,n $), które zawierają punkt $ Q $ jest parzysta.

XXXIV OM - II - Zadanie 5

Dwusieczne kątów $ CAB, ABC, BCA $ trójkąta $ ABC $ przecinają okrąg opisany na tym trójkącie odpowiednio w punktach $ K, L, M $. Dowieść, że

\[<br /> AK+BL+CM > AB+BC+CA.<br /> \]

XXXIV OM - II - Zadanie 3

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $, przy czym $ \measuredangle PAC = \measuredangle PBC $. Punkty $ L $ i $ M $ są odpowiednio rzutami $ P $ na proste $ BC $ i $ CA $, $ D $ jest środkiem odcinka $ AB $. Dowieść, że $ DL = DM $.

XXXIV OM - II - Zadanie 1

Na płaszczyźnie z ustalonym układem współrzędnych dany jest wielokąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite. Dowieść, że podwojone pole tego wielokąta jest liczbą całkowitą.

XXXIV OM - I - Zadanie 4

We wnętrzu koła $ K $ znajduje się $ n $ kół, których środki leżą na średnicy $ K $. Wykazać, że obwód sumy mnogościowej tych kół nie przekracza obwodu $ K $.

XXXV OM - III - Zadanie 5

Sześciokąt foremny o boku 1 zawarty jest w sumie mnogościowej sześciu kół mających średnicę 1. Wykazać, że żaden z wierzchołków sześciokąta nie należy do dwóch z tych kół.

XXXV OM - II - Zadanie 5

Obliczyć kres dolny pól sześciokątów wypukłych, których wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite.

XXXV OM - II - Zadanie 2

Na bokach trójkąta $ ABC $ budujemy podobne trójkąty równoramienne: trójkąt $ APB $ na zewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ AP = PB $), trójkąt $ CQA $ na zewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ CQ = QA $), trójkąt $ CRB $ do wewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ CR = RB $). Dowieść, że $ APRQ $ jest równoległobokiem lub punkty $ A, P, R, Q $ leżą na prostej.

XXXV OM - I - Zadanie 10

Na płaszczyźnie dane jest $ 3n $ punktów, wśród których nie ma trzech punktów współliniowych. Dowieść, że istnieje $ n $ rozłącznych trójkątów o wierzchołkach w danych punktach.

Subskrybuje zawartość