2000-2009

LIX OM - III -Zadanie 1

W pola tablicy rozmiaru $ n \times n $ wpisane są liczby $ 1, 2, \dots , n^2 $ , przy czym liczby $ 1, 2, \dots , n $ znajdują
się w pierwszym wierszu (od strony lewej do prawej), liczby $ n +1, n +2, \dots ,2n $ w drugim, itd.

Wybrano $ n $ pól tablicy, z których żadne dwa nie leżą w jednym wierszu ani w jednej kolumnie. Niech $ a_i $ będzie liczbą
znajdującą się w tym wybranym polu, które leży w wierszu o numerze $ i $. Dowieść, że

\[<br /> \frac{1^2}{a_1} + \frac{2^2}{a_2} + \dots + \frac{n^2}{a_n} \geqslant \frac{n+2}{2} - \frac{1}{n^2+1}<br /> \]

LIX OM - II -Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita dodatnia $ n $ niepodzielna przez 3. Udowodnić, że istnieje liczba $ m $ o następującej własności:
Każda liczba całkowita nie mniejsza niż $ m $ jest sumą cyfr pewnej wielokrotności liczby $ n $.

LIX OM - II -Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ ABC $, w którym $ AC = BC $. Punkt $ D $ leży na boku $ AB $ tego trójkąta, przy czym $ AD < BD $. Punkt
$ E $ jest symetryczny do punktu $ A $ względem prostej $ CD $. Wykazać, że

\[<br /> \frac{AC}{CD} = \frac{BE}{BD-AD}<br /> \]

LIX OM - II -Zadanie 4

W każdym polu kwadratowej tablicy o rozmiarach $ n \times n $ napisana jest liczba całkowita. Możemy wielokrotnie
wykonywać następującą operację: Wybieramy dowolne pole tabeli i zmniejszamy wpisaną weń liczbę o liczbę pól sąsiednich
(mających wspólny bok z wybranym polem), zaś każdą z liczb wpisanych w pola sąsiednie zwiększamy o 1.

Dla każdej liczby całkowitej $ n \geqslant 2 $ rozstrzygnąć, czy z dowolnej początkowej tabeli, w której suma wszystkich
$ n^2 $ liczb jest równa zeru, można otrzymać tabelę składającą się z samych zer.

LIX OM - II -Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $ f $, określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące
wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $ zachodzi równość

\[<br /> (1)\qquad f(f(x)-y)= f(x)+f(f(y)-f(-x))+x.<br /> \]

LIX OM - II -Zadanie 2

W pięciokącie wypukłym $ ABCDE $ spełnione są zależności

\[<br /> \measuredangle ABD &= \measuredangle ACE,& \measuredangle ACB &= \measuredangle ACD, \\<br /> \measuredangle ADC &= \measuredangle ADE,& \measuredangle ADB &= \measuredangle AEC.<br /> \]

Odcinki $ BD $ i $ CE $ przecinają się w punkcie $ S $. Dowieść, że proste $ AS $ i $ CD $ są prostopadłe.

LIX OM - II -Zadanie 1

Wyznaczyć największą możliwą długość ciągu kolejnych liczb całkowitych, z których każdą można przedstawić w
postaci $ x^3 +2y^2 $ dla pewnych liczb całkowitych $ x, y $.

LIX OM - I -Zadanie 12

Dana jest liczba całkowita $ m \geqslant 2 $. Wyznaczyć najmniejszą taką liczbę całkowitą
$ n \geqslant m $, że dla każdego rozbicia zbioru $ \{m,m+1,\dots ,n\} $ na dwa podzbiory, przynajmniej jeden z
tych podzbiorów zawiera takie liczby $ a, b, c $ (niekoniecznie różne), że $ ab = c $.

LIX OM - I -Zadanie 11

Punkty $ P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7 $ leżą odpowiednio na bokach $ BC, CA, AB, BC, CA, AB, BC $
trójkąta $ ABC $, przy czym spełnione są równości

\[<br /> \measuredangle P_1P_2C =\measuredangle AP_2P_3 =\measuredangle P_3P_4B =\measuredangle CP_4P_5 =\measuredangle P_5P_6A=\measuredangle BP_6P_7 =60^{\circ}.<br /> \]

Dowieść, że $ P_1 = P_7 $.

LIX OM - I -Zadanie 10

Dana jest liczba pierwsza p. Ciąg liczb całkowitych dodatnich $ a_1, a_2, a_3, \dots $ spełnia warunek

\[<br /> (1) \qquad a_{n+1} = a_n +p\left[ \sqrt[p]{a_n} \right]\quad \text{dla } n =1, 2,3,\dots.<br /> \]

Wykazać, że pewien wyraz tego ciągu jest $ p $-tą potęgą liczby całkowitej.
(Uwaga: Symbol $ [x] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $ x $.)

Subskrybuje zawartość