Planimetria

XXXV OM - I - Zadanie 8

Niech $n$ będzie liczbą naturalną parzystą. Udowodnić, że czworokąt można podzielić na $n$ trójkątów, których wierzchołki leżą w wierzchołkach czworokąta albo wewnątrz czworokąta, a bok każdego trójkąta jest albo bokiem czworokąta, albo bokiem innego trójkąta.

XXXV OM - I - Zadanie 4

Dane są dwa przecinające się okręgi $o(O_1, r_1)$ i $o(O_2, r_2)$ i prosta styczna do nich odpowiednio w punktach $A$ i $B$ . Punkt $C$ jest punktem wspólnym tych okręgów bliższym prostej $AB$ , $R$ jest długością promienia okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , $d = O_1O_2$ Udowodnić, że $\measuredangle ABC = \measuredangle O_1CO_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $d^2 = r_1^2 + r_2^2 + R^2$ .

XXXV OM - I - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy sześciokąt foremny można pokryć sześcioma kołami o średnicy równej długości boku sześciokąta.

XXXVI OM - III - Zadanie 4

Wewnątrz trójkąta $ABC$ dany jest punkt odległy odpowiednio o $d_a, d_b, d_c$ od prostych $BC, CA, AB$ . Niech $r$ będzie długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Udowodnić, że

$ \frac{}{\frac{1}{d_a} + \frac{1}{d_b} + \frac{1}{d_c}} <r < \frac{1}{2}(d_a + d_b + d_c) $

XXXVI OM - II - Zadanie 1

Wewnątrz trójkąta $ABC$ wybrano punkt $P$ . Niech $a, b, c$ będą odpowiednio długościami boków $BC$ , $CA$ , $AB$ , zaś $x, y, z$ odległościami punktu $P$ od wierzchołków $B, C, A$ . Dowieść, że jeżeli

$ \begin{split} x^2 + xy + y^2 &= a^2 \\ y^2 + yz + z^2 &= b^2 \\ z^2 + zx + x^2 &= c^2, \end{split} $

to

$ a^2 + ab + b^2 > c^2. $

XXXVI OM - I - Zadanie 6

Obliczyć długości równoległych boków trapezu znając długości pozostałych boków i przekątnych.

XXXVI OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli w trójkącie proste prostopadłe do boków, poprowadzone przez punkty przecięcia tych boków z dwusiecznymi przeciwległych kątótw przecinają się w jednym punkcie, to trójkąt jest równoramienny.

XXXVII OM - III - Zadanie 6

W trójkącie $ABC$ punkty $K$ i $L$ są rzutami prostokątnymi wierzchołków $B$ i $C$ na dwusieczną kąta $BAC$ , punkt $M$ jest spodkiem wysokości trójkąta $ABC$ poprowadzonej z wierzchołka $A$ , a punkt $N$ jest środkiem boku $BC$ . Wykazać, że punkty $K$ , $L$ , $M$ i $N$ leżą na jednym okręgu.

XXXVII OM - II - Zadanie 6

W trójkącie $ABC$ wybrano punkt $A'$ na boku $BC$ , punkt $B'$ na boku $AC$ , punkt $C'$ na boku $AB$ tak, że proste $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ przecinają się w jednym punkcie, czyli równoważnie $|BA'| \cdot |CB'| \cdot |AC'| = |CA'| \cdot |AB'| \cdot |BC'|$ . Udowodnić, że pole trójkąta $A'B'C'$ jest nie większe od $1/4$ pola trójkąta $ABC$ .

XXXVII OM - I - Zadanie 8

Niech $E$ będzie dowolnym punktem wewnętrznym boku $AB$ czworokąta wypukłego $ABCD$ . Oznaczmy odpowiednio przez $S_1, S_2, T$ pola trójkątów $ADE$ , $BCE$ oraz $CDE$ .