Planimetria

XXXVII OM - I - Zadanie 4

W dany okrąg wpisujemy trójkąt ostrokątny $ ABC $. Niech $ A_1, B_1, C_1 $ będą odpowiednio środkami łuków $ BC, CA, AB $ zawartych w półokręgach. Udowodnić, że pole trójkąta $ ABC $ nie jest większe od pola trójkąta $ A_1B_1C_1 $ oraz, że pola te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

XXXVIII OM - III - Zadanie 1

W kwadracie o boku 1 znajduje się $ n $ punktów ($ n > 2 $). Dowieść, że można je ponumerować $ P_1, P_2, ..., P_n $ tak, by \sum_{i=1}^n |P_{i-1}P_i|^2 \leq 4 (przyjmujemy $ P_0=P_n $).

XXXVIII OM - II - Zadanie 6

Dowolnemu czworokątowi $ ABCD $ przyporządkowujemy środki okręgów opisanych na trójkątach $ BCD $, $ CDA $, $ DAB $, $ ABC $. Udowodnić, że jeżeli wierzchołki czworokąta wypukłego $ Q $ nie leżą na okręgu, to

a) cztery punkty przyporządkowane w powyższy sposób czworokątowi Q są wierzchołkami czworokąta wypukłego. Oznaczmy ten czworokąt przez $ t(Q) $,

b) wierzchołki czworokąta $ t(Q) $ nie leżą na okręgu,

c) czworokąty $ Q $ i $ t(t(Q) $ są podobne.

XXXVIII OM - I - Zadanie 9

W pięciokącie wypukłym $ KLMNP $ prowadzimy przekątne, które przecinając się wyznaczają rozłączne odcinki: na przekątnej $ KM $ w kolejności od $ K $ do $ M $ odcinki o długościach $ a_1, b_1, c_1 $; podobnie $ a_2, b_2, c_2 $ na przekątnej $ LN $, $ a_3, b_3, c_3 $ na przekątnej $ MP $, $ a_4, b_4, c_4 $ na przekątnej $ NK $, $ a_5, b_5, c_5 $na przekątnej $ PL $. Dowieść, że

\[<br /> \prod_{i=1}^5 \frac{c_i}{b_i+c_i} = \prod_{i=1}^5 \frac{a_i}{a_i+b_i}<br /> \]

XXXVIII OM - I - Zadanie 8

Ciąg $ A_1, A_2, \ldots $ punktów płaszczyzny spełnia dla każdego $ n > 1 $ następujące warunki: $ |A_{n+1}A_n| = n $ oraz kąt skierowany $ A_{n+1}A_nA_1 $ jest równy $ 90^{\circ} $. Udowodnić, że każda półprosta o początku $ A_1 $ przecina nieskończenie wiele odcinków $ A_nA_{n+1} $ ($ n = 1, 2, \ldots $).

XXXVIII OM - I - Zadanie 6

Który z czworokątów mających trzy boki długości 1 ma największe pole?

XXXVIII OM - I - Zadanie 2

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by liczby dodatnie $ a, b, c $ były długościami boków pewnego trójkąta jest, by spełniały one nierówność $ |a—b| < c < |a+b| $. Sformułować i udowodnić analogiczne warunki konieczne i wystarczające na to, by trzy liczby dodatnie były długościami:

a) wysokości pewnego trójkąta,

b) środkowych pewnego trójkąta.

XXXIX OM - III - Zadanie 3

Niech $ W $ będzie wielokątem (niekoniecznie wypukłym) mającym środek symetrii. Udowodnić, że istnieje taki równoległobok zawierający $ W $, że środki boków tego równoległoboku należą do brzegu $ W $.

XXXIX OM - II - Zadanie 3

Wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ ABC $ rozważamy punkt $ P $ i jego rzuty $ L, M, N $ odpowiednio na boki $ BC, CA, AB $. Wyznaczyć taki punkt $ P $, dla którego suma $ |BL|^2 + |CM|^2 + |AN|^2 $ jest najmniejsza.

XXXIX OM - I - Zadanie 7

Dane jest takie przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, że obrazem każdego okręgu jest okrąg. Udowodnić, że obrazem każdej prostej jest prosta.

Subskrybuje zawartość