Olimpiada Matematyczna

XII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $A$ , $B$ , $C$ , $D$ są wierzchołkami czworościanu, a $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ , to

$ SD<\frac{AD+BD+CD}{3} $

XII OM - I - Zadanie 3

Na płaszczyźnie dany jest okrąg $K$ i punkt $A$ . Wykreślić taki okrąg $L$ przechodzący przez punkt $A$ , żeby soczewka będąca wspólną częścią obu kół miała daną średnicę $a$ i daną grubość $b$ .

XII OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $a_1 \leq a_2 \leq a_3$ i $b_1 \leq b_2 \leq b_3$ , to

$ \frac{a_1+a_2+a_3}{3}\cdot\frac{b_1+b_2+b_3}{3} \leq\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{3} $

XII OM - I - Zadanie 1

Narysowano $k$ prostych równoległych i przecięto je $n$ prostymi równoległymi. Ile powstało równoległoboków?

XIII OM - III - Zadanie 6

Dane są trzy proste $a$ , $b$ , $c$ parami skośne. Gzy można zbudować taki równoległościan, którego krawędzie leżą na prostych $a$ , $b$ , $c$ ?

XIII OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną większą od $2$ , to

$ (1) \qquad \sqrt[n + 1]{n+1} < \sqrt[n]{n}. $

XIII OM - III - Zadanie 4

Iloma sposobami można zbiór $n$ przedmiotów podzielić na dwa zbiory?

XIII OM - III - Zadanie 3

Jaki warunek powinny spełniać kąty trójkąta $ABC$ , żeby dwusieczna kąta $A$ , środkowa poprowadzona z wierzchołka $B$ i wysokość poprowadzona z wierzchołka $C$ przecinały się w jednym punkcie ?

XIII OM - III - Zadanie 2

Wewnątrz danego czworokąta wypukłego znaleźć taki punkt, żeby odcinki łączące ten punkt ze środkami boków czworokąta dzieliły czworokąt na cztery części o równych polach.

XIII OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby $a_1, a_2,\ldots, a_n$ ( $n$ - liczba naturalna $\geq 2$ ) tworzą postęp arytmetyczny, a żadna z nich nie jest zerem, to

$ (1) \qquad \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}. $

Olimpiady Matematyczne