2000-2009

LIX OM - I -Zadanie 5

Znaleźć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $ (p,q,r) $, że liczby

\[<br /> pq + qr + rp \quad \text{oraz} \quad p^3+q^3+r^3-2pqr<br /> \]

są podzielne przez $ p+ q +r $.

LIX OM - I -Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita $ n \geqslant 1 $. Każdemu niepustemu podzbiorowi $ A $ zbioru $ \{1, 2,\dots ,n\} $
przyporządkowujemy liczbę $ w(A) $ w następujący sposób: Jeżeli $ a_1 >a_2 >\dots >a_k $ są wszystkimi elementami
zbioru A, to

\[<br /> (1)\qquad w(A)= a_1 -a_2 +a_3 -\dots +(-1)^{k+1} a_k.<br /> \]

Obliczyć sumę wszystkich $ 2n-1 $ otrzymanych liczb $ w(A) $.

LIX OM - I -Zadanie 3

Ciąg liczb całkowitych $ a_1, a_2, a_3, \dots $ jest określony przez warunki: $ a_1 = 1, a_2 = 2 $,

\[<br /> (1)\qquad a_n =3a_n-1 +5a_{n-2} \quad\text{ dla }n =3,4,5,\dots .<br /> \]

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita $ k \geqslant 2 $, że liczba $ a_k $ jest dzielnikiem
iloczynu $ a_{k+1}a_{k+2} $.

LIX OM - I -Zadanie 2

Dany jest kąt wypukły o wierzchołku $ P $ i punkt $ A $ leżący wewnątrz tego kąta. Punkty $ X $ i $ Y $ leżą na różnych
ramionach tego kąta, przy czym $ PX = PY $ oraz wartość sumy $ AX +AY $ jest najmniejsza. Wykazać, że
$ \measuredangle XAP = \measuredangle YAP $.

LX OM - III - Zadanie 6

Niech $ n \geqslant $ 3 będzie liczbą naturalną. Ciąg liczb nieujemnych
$ (c_0,c_1,\cdots ,c_n) $ spełnia warunek

\[<br /> (1) \qquad c_pc_s + c_rc_t = c_{p+r}c_{r+s}<br /> \]

dla wszystkich $ p, r, s, t \geqslant 0 $ takich, że $ p + r + s + t = n $. Wyznaczyć wszystkie możliwe
wartości $ c_2 $, jeśli $ c_1 =1 $.

LX OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ ABCD $ jest styczna do jego ścian $ BCD, ACD, ABD, ABC $ odpowiednio w punktach
$ P, Q, R, S $. Odcinek $ PT $ jest średnicą tej sfery, zaś punkty $ A',Q',R',S' $ są punktami przecięcia prostych
$ TA, TQ, TR, TS $ z płaszczyzną $ BCD $. Wykazać, że $ A' $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ Q'R'S' $.

LX OM - III - Zadanie 4

Niech $ x_1,x_2,\cdots ,x_n $ będą liczbami nieujemnymi, których suma wynosi 1. Udowodnić, że istnieją
liczby $ a1,a2,\cdots ,an \in \{0, 1, 2, 3, 4\} $ takie, że $ (a_1,a_2,\cdots ,a_n) \neq (2, 2,\cdots , 2) $ oraz

\[<br /> 2 \leqslant a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \leqslant 2+ \frac{2}{3^n-1}.<br /> \]

LX OM - III - Zadanie 3

Niech $ P, Q, R $ będą wielomianami stopnia co najmniej jeden, o współczynnikach rzeczywistych,
spełniającymi dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ równości

\[<br /> P(Q(x)) = Q(R(x)) = R(P (x)).<br /> \]

Wykazać, że $ P = Q = R $.

LX OM - III - Zadanie 2

Niech $ S $ będzie zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych. Znaleźć
najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią $ k $, dla której istnieje 60–elementowy podzbiór zbioru $ S $
o następującej własności: Dla dowolnych dwóch różnych elementów $ A $ i $ B $ tego podzbioru istnieje taki punkt
$ C \in S $, że pole trójkąta $ ABC $ jest równe $ k $.

Subskrybuje zawartość