Planimetria

XXXIX OM - I - Zadanie 4

W elipsę wpisano trójkąt o maksymalnym obwodzie. Udowodnić, że w każdym wierzchołku kąty między styczną do elipsy a bokami wychodzącymi z tego wierzchołka są równe.

XXXIX OM - I - Zadanie 3

Dla danego punktu $ P $ leżącego wewnątrz trójkąta $ ABC $ rozważamy
punkty $ A' $ i $ A'' $ leżące na półprostej $ AP^{\rightarrow} $ tak, że $ A' \in BC $, $ |AA''| = 2|AA'| $;
punkty $ B' $ i $ B'' $ leżące na półprostej $ BP^{\rightarrow} $ tak, że $ B' \in CA $, $ |BB''| = 2|BB'| $;
punkty $ C' $ i $ C'' $ leżące na półprostej $ CP^{\rightarrow} $ tak, że $ C \in AB $, $ |CC''| = 2|CC'| $.
Wyrazić pole trójkąta $ A''B''C'' $ za pomocą pól trójkątów $ ABC $ i $ A'B'C' $.

XL OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ są styczne zewnętrznie w punkcie $ P $, okręgi $ k_3 $ i $ k_1 $ — w punkcie $ Q $, okręgi $ k_1 $ i $ k_2 $ — w punkcie $ R $. Prosta $ PQ $ przecina okrąg $ k_1 $ jeszcze w punkcie $ S $, a prosta $ PR $ — w punkcie $ T $. Prosta $ SR $ przecina okrąg $ k_2 $ również w punkcie $ U $, a prosta $ TQ $ przecina $ k_3 $ jeszcze w punkcie $ V $. Udowodnić, że punkt $ P $ leży na prostej $ UV $.

Rozwiązanie

om40_3r_img_6.jpg

Oznaczmy okrąg wpisany w trójkąt $ O_1O_2O_3 $ przez $ k $, jego środek przez $ I $, a środki okręgów $ k_1 $, $ k_2 $ , $ k_3 $ - przez $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $. Okrąg $ k $ jest styczny do boków trójkąta $ O_1O_2O_3 $ w punktach $ P $, $ Q $, $ R $; wymka to z równości $ |O_1Q| = |O_1R| $, $ |O_2R| = |O_2P| $, $ |O_3P| = |O_3Q| $.

Zachodzą następujące równości kątów (rysunek 6):

\[<br /> \begin{split}<br /> |\measuredangle RPQ| = \frac{1}{2} |\measuredangle RIQ| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } k);\\<br /> |\measuredangle QSR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\<br /> |\measuredangle QTR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\<br /> |\measuredangle RIQ| + |\measuredangle QO_1R| = 180^\circ &\ \textrm{(przeciwległe kąty czworokąta } IQO_1R \textrm{ o pozostałych dwóch kątach prostych)}.<br /> \end{split}<br /> \]

Z tych równości otrzymujemy z kolei związek

\[<br /> |\measuredangle QSR| = |\measuredangle QTR| = 90^\circ -|\measuredangle RPQ|,<br /> \]

który oznacza, że trójkąty $ PRS $ i $ PQT $ są prostokątne: $ PT \bot SU $, $ PS \bot TY $.

Tak więc kąty $ PRU $ i $ PQV $ są proste. Są to kąty wpisane w okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ i muszą być oparte na półokręgach. Zatem odcinki $ PU $ i $ PV $ są średnicami tych okręgów; są wobec tego prostopadłe do wspólnej stycznej (prostej $ PI $). Stąd wynika współliniowość punktów $ U $, $ P $, $ V $.

XL OM - II - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $ przez punkt wewnętrzny $ P $ poprowadzono proste $ CP $, $ AP $, $ BP $ przecinające boki $ AB $, $ BC $, $ CA $ odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $. Udowodnić, że jeśli w czworokąty $ AKPM $ i $ KBLP $ można wpisać koła, to w czworokąt $ LCMP $ też można wpisać koło.

XL OM - I - Zadanie 3

Trójkąty $ ABC $ i $ ABC' $ mają równo obwody, a dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach $ C $ i $ C' $ przecinają się w punkcie $ O $. Dowieść, że kąty $ AOC $ i $ BOC' $ są równe.

XLI OM - III - Zadanie 4

Wewnątrz kwadratu o boku długości 1 narysowano trójkąt, którego każdy bok ma długość nie mniejszą od 1. Dowieść, że środek kwadratu należy do trójkąta.

XLI OM - II - Zadanie 6

Dla dowolnego wielokąta wypukłego $ W $ o polu 1 oznaczmy przez $ f(W) $ pole wielokąta wypukłego, którego wierzchołkami są środki wszystkich boków wielokąta $ W $. Dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 3 $ wyznaczyć kres dolny i kres górny zbioru liczb $ f(W) $ gdy $ W $ przebiega zbiór wszystkich $ n $-kątów wypukłych o polu 1.

XLI OM - I - Zadanie 12

Pięciokąt wypukły ma pole $ S $. Niech $ S_1 $, $ S_2 $ , $ S_3 $, $ S_4 $, $ S_5 $ będą polami pięciu trójkątów odciętych przez przekątne pięciokąta (wierzchołkami każdego z tych trójkątów są trzy kolejne wierzchołki pięciokąta). Udowodnić, że suma pewnych czterech liczb $ S_j $ przekracza $ S $.

XLI OM - I - Zadanie 3

Na zewnątrz trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano trójkąty równoboczne $ ABC' $, $ BCA' $, $ CAB' $. Dowieść, że odcinki $ AA' $, $ BB' $, $ CC' $ przecinają się w jednym punkcie i są równej długości.

XLII OM - III - Zadanie 5

Nieprzystające okręgi $ k_1 $ i $ k_2 $ leżą jeden na zewnątrz drugiego. Wspólne styczne do tych okręgów przecinają prostą wyznaczoną przez ich środki w punktach $ A $ i $ B $. Niech $ P $ będzie dowolnym punktem okręgu $ k_1 $. Dowieść, że istnieje średnica okręgu $ k_2 $, której jeden koniec leży na prostej $ PA $, a drugi — na prostej $ PB $.

Subskrybuje zawartość