Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XIII OM - II - Zadanie 6

Znaleźć liczbę trzycyfrową o tej własności, że liczba przedstawiona tymi cyframi i w tej samej kolejności, ale przy podstawie numeracji różnej niż $ 10 $, jest dwa razy większa od liczby danej.

XIII OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dany jest kwadrat $ Q $ i punkt $ P $. Punkt $ K $ przebiega obwód kwadratu $ Q $. Znaleźć miejsce geometryczne wierzchołka $ M $ trójkąta równobocznego $ KPM $.

XIII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli boki $ a $, $ b $, $ c $ trójkąta spełniają nierówność

\[<br /> a < b < c<br /> \]

to dwusieczne $ d_a $, $ d_b $, $ d_c $ kątów przeciwległych spełniają nierówność

\[<br /> d_a > d_b > d_c.<br /> \]

XIII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że cztery odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości ścian przeciwległych mają punkt wspólny.

XIII OM - II - Zadanie 2

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $, żeby wielomian stopnia drugiego

\[<br /> (1) \qquad ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f<br /> \]

był iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach rzeczywistych ?

XIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równanie

\[<br /> (1) \qquad x + y + z = a,<br /> \]
\[<br /> (2) \qquad \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a},<br /> \]

to co najmniej jedna z nich jest równa $ a $.

XIII OM - I - Zadanie 12

Z punktu $ A $ okręgu $ k $ poprowadzono odcinek $ AB $ prostopadły do płaszczyzny okręgu. Znaleźć miejsce geometryczne rzutu prostokątnego punktu $ A $ na prostą przechodzącą przez punkt $ B $ i przez punkt $ M $ poruszający się po okręgu $ k $.

XIII OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt $ ABCD $, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $ M $. Udowodnić, że $ 8 $ punktów, w których prostopadle poprowadzone z punktu $ M $ do prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $ przecinają boki czworokąta, leży na okręgu.

Subskrybuje zawartość