Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

XIII OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ x^2 + y^2 = a^2 $ i $ a \geq 0 $, to

\[<br /> x + y \leq a \sqrt{2}.<br /> \]

Rozwiązanie

Ponieważ

\[<br /> (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2x^2 + 2y^2 - (x - y)^2 = 2a^2 - (x - y)^2<br /> \]

a $ (x -y)^2 \geq 0 $, więc $ (x + y)^2 \leq 2a^2 $, skąd $ |x + y| \leq a \sqrt{2} $, tym bardziej więc

\[<br /> x+y \leq a\sqrt{2}.<br /> \]

Uwaga. Posługując się początkowymi wiadomościami z geometrii analitycznej można podać prostą interpretację geometryczną udowodnionego twierdzenia. W układzie współrzędnych prostokątnych $ (x,y) $ równanie $ x^2 + y^2 = a^2 $ ($ a \geq 0 $) przedstawia okrąg o środku w początku układu i promieniu równym $ a $. Równanie $ x + y = k $ ($ k \ne 0 $) przedstawia prostą wyznaczającą na osiach współrzędnych odcinki równe $ k $.

Suma $ x + y $ współrzędnych punktu okręgu osiąga największą wartość $ k $, gdy prosta $ x + y = k $ jest styczna do okręgu w punkcie pierwszej ćwiartki (rys. 1). Wówczas $ k = a \sqrt{2} $. Dla każdego punktu okręgu zachodzi zatem nierówność $ x + y \leq a \sqrt{2} $.

XIV OM - III - Zadanie 6

Przez wierzchołek kąta trójściennego, w którym żadna krawędź nie jest prostopadła do przeciwległej ściany, poprowadzono w płaszczyźnie każdej ściany prostą prostopadłą do przeciwległej krawędzi. Dowieść, że otrzymane trzy proste leżą w jednej płaszczyźnie.

XIV OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że wielomian stopnia piątego

\[<br /> P(x) = x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6<br /> \]

nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

XIV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n-1}.<br /> \]

XIV OM - III - Zadanie 3

Z danego trójkąta wyciąć prostokąt o największym polu.

XIV OM - III - Zadanie 2

W przestrzeni dane są cztery różne punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że trzy odcinki łączące środki odcinków $ AB $ i $ CD $, $ AC $ i $ BD $, $ AD $ i $ BC $ mają wspólny środek.

XIV OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dwie liczby naturalne, których cyframi są same jedynki, są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby ich cyfr są względnie pierwsze.

XIV OM - II - Zadanie 6

Z punktu $ S $ przestrzeni wychodzą $ 3 $ półproste: $ SA $, $ SB $ i $ SC $, z których żadna nie jest prostopadła do obu pozostałych. Przez każdą z tych półprostych poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny zawierającej dwie pozostałe półproste. Dowieść, że poprowadzone płaszczyzny przecinają się wzdłuż jednej prostej $ d $.

XIV OM - II - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych przy wierzchołkach $ A $ i $ B $. Dowieść, że rzuty prostokątne punktu $ C $ na te dwusieczne leżą na jednej prostej.

Subskrybuje zawartość