Planimetria

XLII OM - II - Zadanie 2

Na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio takie punkty $D$ , $E$ , $F$ , że

$<br /> \frac{|DB|}{|DC|} = \frac{|EC|}{|EA|} = \frac{|FA|}{|FB|}<br />$

Dowieść, że jeżeli trójkąt $DEF$ jest równoboczny, to także trójkąt, $ABC$ jest równoboczny.

Niech $f$ będzie przekształceniem płaszczyzny mającym następującą własność: dla dowolnej pary punktów $P$ , $Q$ , których odległość $|PQ|$ jest liczbą wymierną, odległość ich obrazów $P' = f(P)$ , $Q'= f(Q)$ spełnia równość $|P'Q'| = |PQ|$ . Udowodnić, że $f$ jest izometrią.

XLII OM - I - Zadanie 6

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, $\measuredangle BAC| = 100^{\circ}$ , dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ . Dowieść, że

$<br /> |AD| + |DB| = |BC|.<br />$

XLII OM - I - Zadanie 5

Dany jest odcinek $AD$ . Znaleźć na nim takie punkty $B$ i $C$ , by iloczyn długości odcinków $AB$ , $AC$ , $AD$ , $BC$ , $BD$ , $CD$ był maksymalny.

XLII OM - I - Zadanie 1

Na brzegu jeziora w kształcie koła znajdują się cztery przystanie $K$ , $L$ , $P$ , $Q$ . Z przystani $K$ wypływa kajak kierując się do przystani $Q$ , a z przystani $L$ wypływa łódka kierując się do przystani $P$ . Wiadomo, że gdyby zachowując swe prędkości kajak popłynął w kierunku przystani $P$ , a łódka w kierunku przystani $Q$ , to doszłoby do zderzenia. Dowieść, że kajak i łódka dobiją do celu w tym samym czasie.

Czytaj dalej

XLIII OM - III - Zadanie 1

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $P$ , przy czym $|PA|=|PD|$ , $|PB|=|PC|$ . Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $PAB$ . Dowieść, że proste $OP$ i $CD$ są prostopadłe.

XLIII OM - II - Zadanie 4

Okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ są styczne zewnętrznie: $k_1$ do $k_2$ w punkcie $A$ , $k_2$ do $k_3$ w punkcie $B$ , $k_3$ do $k_4$ w punkcie $C$ , $k_4$ do $k_1$ w punkcie $D$ . Proste $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$ . Przez punkt $S$ poprowadzono prostą $p$ styczną do $k_4$ w punkcie $F$ . Wykazać, że $|SE|=|SF|$ .

XLIII OM - II - Zadanie 3

Przez środek ciężkości trójkąta ostrokątnego $ABC$ poprowadzono proste prostopadłe do boków $BC$ , $CA$ , $AB$ , przecinające je odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ , $R$ . Wykazać że jeżeli $|BP|\cdot |CQ| \cdot |AR| = |PC| \cdot |QA| \cdot |RB|$ , to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Uwaga: Zgodnie z twierdzeniem Cevy, dana w założeniu równość, iloczynów jest równoważna temu, że proste $AP$ , $BQ$ , $CR$ mają punkt wspólny.

XLIII OM - II - Zadanie 1

Każdy wierzchołek pewnego wielokąta ma obie współrzędne całkowite; długość każdego boku tego wielokąta jest liczbą naturalną. Udowodnić, że obwód wielokąta jest liczbą parzystą.

XLIII OM - I - Zadanie 12

Na płaszczyźnie narysowane cztery proste tak, że żadne dwie z nich nie są równoległe i żadne trzy nie mają punktu wspóinego. Proste te wyznaczają cztery trójkąty. Udowodnić, że ortocentra tych trójkątów leżą na jednej prostej.

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia jego wysokości.

Olimpiady Matematyczne