Olimpiada Matematyczna

XIII OM - I - Zadanie 8

Dany jest czworokąt skośny $ABCD$ i płaszczyzna przecinająca proste $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ różnych od $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Dowieść, że

$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} = 1. $

XIII OM - I - Zadanie 7

Dane są na płaszczyźnie odcinki $AB$ i $CD$ . Znaleźć na tejże płaszczyźnie taki punkt $M$ , żeby trójkąty $AMB$ i $CMD$ były podobne, a przy tym kąt $AMB$ był równy kątowi $CMD$ .

XIII OM - I - Zadanie 6

Rozłożyć na czynniki rzeczywiste trójmian

$ x^4 + px^2 + q, $

gdzie $p$ i $q$ są liczbami rzeczywistymi spełniającymi nierówność

$ p^2 - 4q < 0. $

XIII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że wszystkie potęgi liczby, której ośmioma cyframi końcowymi są $12890625$ , mają też na końcu cyfry $12890625$ .

XIII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że prosta symetryczna do środkowej $CS$ trójkąta $ABC$ względem dwusiecznej kąta $C$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ na odcinki proporcjonalne do kwadratów boków $AC$ i $BC$ .

XIII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że prostopadłe opuszczone ze środków kół dopisanych trójkąta na odpowiednie boki trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

XIII OM - I - Zadanie 2

Ile cyfr mają razem wszystkie liczby naturalne co najwyżej $m$ -cyfrowe?

XIII OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $x^2 + y^2 = a^2$ i $a \geq 0$ , to

$ x + y \leq a \sqrt{2}. $

Rozwiązanie

Ponieważ

$ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2x^2 + 2y^2 - (x - y)^2 = 2a^2 - (x - y)^2 $

a $(x -y)^2 \geq 0$ , więc $(x + y)^2 \leq 2a^2$ , skąd $|x + y| \leq a \sqrt{2}$ , tym bardziej więc

$ x+y \leq a\sqrt{2}. $

Uwaga. Posługując się początkowymi wiadomościami z geometrii analitycznej można podać prostą interpretację geometryczną udowodnionego twierdzenia. W układzie współrzędnych prostokątnych $(x,y)$ równanie $x^2 + y^2 = a^2$ ( $a \geq 0$ ) przedstawia okrąg o środku w początku układu i promieniu równym $a$ . Równanie $x + y = k$ ( $k \ne 0$ ) przedstawia prostą wyznaczającą na osiach współrzędnych odcinki równe $k$ .

Suma $x + y$ współrzędnych punktu okręgu osiąga największą wartość $k$ , gdy prosta $x + y = k$ jest styczna do okręgu w punkcie pierwszej ćwiartki (rys. 1). Wówczas $k = a \sqrt{2}$ . Dla każdego punktu okręgu zachodzi zatem nierówność $x + y \leq a \sqrt{2}$ .

Dodaj komentarz

XIV OM - III - Zadanie 6

Przez wierzchołek kąta trójściennego, w którym żadna krawędź nie jest prostopadła do przeciwległej ściany, poprowadzono w płaszczyźnie każdej ściany prostą prostopadłą do przeciwległej krawędzi. Dowieść, że otrzymane trzy proste leżą w jednej płaszczyźnie.

XIV OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że wielomian stopnia piątego

$ P(x) = x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6 $

nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

Olimpiady Matematyczne